Carattere Serie
Salve, c'è qualcuno in grado di aiutarmi nello studio del carattere di alcune serie? Non riesco a capire come fare oppure se lo capisco spesso non ottengo il risultato giusto.
Le serie sono:
$ sum_(n = \1) (log(n^2+1)-n)/(log(n^2+1)+n),
sum_(n = \1) (-1/(sqrt(2)) )^(n+3),
sum_(n = \1) (arctg(n)-arctg(n+1)),
sum_(n = \1) ((n+1)/(n)^3) $
Ovviamente non pretendo che le facciate tutte al posto mio, solo che mi diate una dritta nello svolgimento in modo che io capisca come fare, grazie
p.s. non sono riuscita a mettere il simbolo di infinito sopra il simbolo di sommatoria XD
Le serie sono:
$ sum_(n = \1) (log(n^2+1)-n)/(log(n^2+1)+n),
sum_(n = \1) (-1/(sqrt(2)) )^(n+3),
sum_(n = \1) (arctg(n)-arctg(n+1)),
sum_(n = \1) ((n+1)/(n)^3) $
Ovviamente non pretendo che le facciate tutte al posto mio, solo che mi diate una dritta nello svolgimento in modo che io capisca come fare, grazie
p.s. non sono riuscita a mettere il simbolo di infinito sopra il simbolo di sommatoria XD
Risposte
se hai il termine generale a segni alterni prova il criterio di Leibniz, altrimenti poi usare il confronto con altre serie di cui conosci il carattere, oppure se hai serie telescopiche è ancora più semplice 
Per la prima verifica se il termine generale va a 0 per $ nrarr+oo $
La seconda converge assolutamente ed e' facilmente riconducibile a una serie nota...
Per l'ultima "divide et impera"...la serie $ sum_(n=1)^(+oo)1/n^alpha $ converge per $ alpha>1 $...
Per la terza non resisto ad usare Taylor:
$ artg(n)-artg(n+1)=-1/n+1/(n+1)+o(1/n)=-1/(n(n+1))+o(1/n) $
Per mettere il simbolo $ +oo $ sopra la sommatoria usa ^(+oo)
La seconda converge assolutamente ed e' facilmente riconducibile a una serie nota...
Per l'ultima "divide et impera"...la serie $ sum_(n=1)^(+oo)1/n^alpha $ converge per $ alpha>1 $...
Per la terza non resisto ad usare Taylor:
$ artg(n)-artg(n+1)=-1/n+1/(n+1)+o(1/n)=-1/(n(n+1))+o(1/n) $
Per mettere il simbolo $ +oo $ sopra la sommatoria usa ^(+oo)
Do' le soluzioni agli indovinelli in ordine sparso 
Seconda serie
$ sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^(n+3)=(-1/sqrt(2))^3sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^n $
Ora la serie $ sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^n $ e' una serie geometrica convergente in quanto $ (-1/sqrt(2))in(-1,1) $. Quindi la serie data converge.
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Quarta serie
$ sum_(n=0)^(+oo)((n+1)/n^3)=sum_(n=0)^(+oo)(1/n^2)+sum_(n=0)^(+oo)(1/n^3) $
Tre maniere di risolvere.
1) Le due serie a destra dell'uguaglianza convergono entrambe essendo l'esponente di n maggiore di 1, quindi anche la serie iniziale converge.
2) $ ((n+1)/n^3)~1/n^2 $ per $ nrarr+oo $ quindi la serie data converge.
3) $ ((n+1)/n^3)=(1/n^2)+(1/n^3)<=1/n^2+1/n^2=2(1/n^2) $
ed essendo la serie $ sum_(n=0)^(+oo)1/n^2 $ convergente per il teorema del confronto segue la convergenza della serie originale.
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Terza serie
$ artg(n)-artg(n+1)=artg(n)-pi/2-artg(n+1)+pi/2= -artg(1/n)+artg(1/(n+1) $
Se Taylor resta indigesto, uso la formuletta $ artg(x)+artg(1/x)={ ( pi/2" "x>0 ),( -pi/2" "x<0 ):} $
cosi' continuo $ -artg(1/n)+artg(1/(n+1))~-1/n+1/(n+1)=-1/(n(n+1)) $ e quest'ultima serie converge assolutamente essendo la serie di Mengoli e quindi anche la serie data converge. [se una serie converge assolutamente allora converge semplicemente]
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Prima serie
$ (log(n^2+1)-n)/(log(n^2+1)+n)=((log(n^2)+log(1+1/n^2)-n)/n^2)/((log(n^2)+log(1+1/n^2)+n)/n^2)rarr(1-1/n)/(1+1/n)rarr1 $
per $ nrarr+oo $ usando i limiti notevoli sui logaritmi.
Poiche' il termine generale della serie non va a 0 per $ nrarr+oo $ allora non e' soddisfatta la condizione necessaria di convergenza, quindi la serie originale non converge.
D'accordo?
Seconda serie
$ sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^(n+3)=(-1/sqrt(2))^3sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^n $
Ora la serie $ sum_(n=1)^(+oo)(-1/sqrt(2))^n $ e' una serie geometrica convergente in quanto $ (-1/sqrt(2))in(-1,1) $. Quindi la serie data converge.
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Quarta serie
$ sum_(n=0)^(+oo)((n+1)/n^3)=sum_(n=0)^(+oo)(1/n^2)+sum_(n=0)^(+oo)(1/n^3) $
Tre maniere di risolvere.
1) Le due serie a destra dell'uguaglianza convergono entrambe essendo l'esponente di n maggiore di 1, quindi anche la serie iniziale converge.
2) $ ((n+1)/n^3)~1/n^2 $ per $ nrarr+oo $ quindi la serie data converge.
3) $ ((n+1)/n^3)=(1/n^2)+(1/n^3)<=1/n^2+1/n^2=2(1/n^2) $
ed essendo la serie $ sum_(n=0)^(+oo)1/n^2 $ convergente per il teorema del confronto segue la convergenza della serie originale.
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Terza serie
$ artg(n)-artg(n+1)=artg(n)-pi/2-artg(n+1)+pi/2= -artg(1/n)+artg(1/(n+1) $
Se Taylor resta indigesto, uso la formuletta $ artg(x)+artg(1/x)={ ( pi/2" "x>0 ),( -pi/2" "x<0 ):} $
cosi' continuo $ -artg(1/n)+artg(1/(n+1))~-1/n+1/(n+1)=-1/(n(n+1)) $ e quest'ultima serie converge assolutamente essendo la serie di Mengoli e quindi anche la serie data converge. [se una serie converge assolutamente allora converge semplicemente]
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Prima serie
$ (log(n^2+1)-n)/(log(n^2+1)+n)=((log(n^2)+log(1+1/n^2)-n)/n^2)/((log(n^2)+log(1+1/n^2)+n)/n^2)rarr(1-1/n)/(1+1/n)rarr1 $
per $ nrarr+oo $ usando i limiti notevoli sui logaritmi.
Poiche' il termine generale della serie non va a 0 per $ nrarr+oo $ allora non e' soddisfatta la condizione necessaria di convergenza, quindi la serie originale non converge.
D'accordo?
Ragazzi scusate l'assenza, ho avuto problemi di connessione. Grazie a tutti, credo di aver capito come studiare questo tipo di serie ! 
Unico dubbio.. per quanto riguarda la serie (3), quella con l'arcotangente, non potrei risolvere le due serie separatamente e poi considerare la serie iniziale come differenza di due serie (se esse sono entrambe convergenti, allora anche la serie iniziale sarà convergente, altrimenti no, corretto?)?
Unico dubbio.. per quanto riguarda la serie (3), quella con l'arcotangente, non potrei risolvere le due serie separatamente e poi considerare la serie iniziale come differenza di due serie (se esse sono entrambe convergenti, allora anche la serie iniziale sarà convergente, altrimenti no, corretto?)?
$ sum_(n=1)^(+oo)artg(n) $ e' divergente in quanto il termine generale $ artg(n)rarr+pi/2 $ pe $ nrarr+oo $ quindi non e' soddisfatta la condizione necessaria di convergenza.
Ma non si puo' concludere nulla circa la serie iniziale con questo metodo in quanto $ -artg(n+1) $ diverge a $ -oo $ e quindi la somma delle due serie produce una forma di indecisione.
Dopodiche' in generale date due serie se esse convergono allora la serie somma converge e la somma e' la serie della somma, mentre date due serie di cui una almeno divergente allora il carattere della somma e' determinato tranne nel caso in cui una serie diverge a $ +oo $ e l'altra a $ -oo $.
Ma non si puo' concludere nulla circa la serie iniziale con questo metodo in quanto $ -artg(n+1) $ diverge a $ -oo $ e quindi la somma delle due serie produce una forma di indecisione.
Dopodiche' in generale date due serie se esse convergono allora la serie somma converge e la somma e' la serie della somma, mentre date due serie di cui una almeno divergente allora il carattere della somma e' determinato tranne nel caso in cui una serie diverge a $ +oo $ e l'altra a $ -oo $.
$ sum(arctgx -arctg(x+1)) $ è una serie telescopia, la somma parziale Sx è uguale a $ Sx=arctg(1)-arctg(x+1) $ e si può facilmente ottenere la somma per x->infinito
Benissimo, adesso è chiaro, grazie davvero! Mi siete di grande aiuto
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