Carattere di una serie col criterio asintotico

[BizarreSummer]

Buonasera, ho dei problemi col seguente esercizio sulle serie numeriche, che mi chiede di trovare i valori di $\alpha in RR$ per i quali la serie converge.


$sum_(k=1)^(oo) (e^(1/k)-1)/(k^(\alpha)+log(k)+arctan(k^7))$

Per $k->oo$ ho che:

$(e^(1/k)-1)/(k^(\alpha)+log(k)+arctan(k^7)) ∼ 1/k*1/k^(\alpha)$

So che la serie armonica generalizzata converge se l'esponente è $>1$ quindi direi che $\alpha + 1 > 1 hArr \alpha >0$

Tuttavia la soluzione che ho è identica, tranne per il fatto che conclude dicendo che la serie converge per $\alpha >= 1$. Mi tornerebbe solo se $\alpha in NN$ onestamente, però nell'esercizio non viene detto così e non so che pensare.

[pilloeffe]

Ciao BizarreSummer,

Secondo me hai ragione tu, d'altronde la serie parametrica proposta è a termini positivi e sicuramente per $\alpha > 0 $ si ha:

[tex]\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{1/k}-1}{k^{\alpha}+ \log(k)+\arctan(k^7)} < \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{1/k}-1}{k^{\alpha}}\sim \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha + 1}} = \zeta(\alpha + 1)[/tex]

ove $\zeta(s) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^s}$ è la funzione zeta di Riemann.

Anche WolframAlpha afferma che la serie proposta è convergente per $0 < \alpha = 1/2 < 1$, come si può vedere qui.