Carattere di una serie al variare di un parametro

[ZeroTime]

$ sum((pi/2)-arctan k^(alpha /2)) $

La sommatoria va da 1 a +oo
Io ho provato a risolverla col confronto asintotico ma non riesco a determinare il carattere della serie al variare di alpha ( che è un parametro reale positivo)
Grazie mille per le risposte

Il passaggio che ho fatto è stato quello di usare la stima asintotica dell'arcotangente:

$ arctan(k^(alpha/2)) = k^(alpha/2) $

ma a questo punto non so come procedere..

[ZeroTime]

"TeM":Ciao ZeroTime, innanzitutto ben iscritto.

Dunque, dato il parametro \(\alpha > 0\), vogliamo studiare il carattere della serie numerica \[ \sum_{k = 1}^{+\infty} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan\left(k^{\frac{\alpha}{2}}\right) \right) \; . \] Ricordando che per \(x > 0\) vale la nota identità \(\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}\), possiamo scrivere \[ \frac{\pi}{2} - \arctan\left(k^{\frac{\alpha}{2}}\right) = \frac{\pi}{2} - \left[ \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{1}{k^{\frac{\alpha}{2}}}\right) \right] = \arctan\left(\frac{1}{k^{\frac{\alpha}{2}}}\right)\] e quindi, ricordando che per \(x \to 0\) si ha \(\arctan(x) = x + o(x)\), per \(k \to +\infty\) segue che \[ \arctan\left(\frac{1}{k^{\frac{\alpha}{2}}}\right) \sim \frac{1}{k^{\frac{\alpha}{2}}} \; . \] A te concludere l'esercizio.

Ciao Tem e grazie per il benvenuto\la risposta.
Non ho ben capito i passaggi che hai svolto e così mi sono un po' messo al lavoro per capire come svolgere questa serie, riporto qui i passaggi.

Allora, utilizzo il criterio del confornto asintotico, confrontando la serie data con la serie che va da 1 a infinto $ sum(1/k^alpha)$ con $ alpha>0 $ di cui conosco il comportamento al variare di alpha. Quindi studio

$ lim_(x -> oo ) (pi/2 - arctan (k^(alpha/2)))/(k^(-alpha) $
Questo limite viene una forma indeterminata e quindi, come suggerito dal mio professore, uso De Hopital:

$ lim_(x -> oo ) -(alpha*k^(alpha/2-1))/((2(1 + k^(alpha)))/(-alpha(K^(-alpha -1)) $

E riportando ad una unica frazione:

$ lim_(x -> oo ) -(alpha* k^(alpha/2 -1))/(2(1+k^alpha)* (-alpha*k^(-alpha-1)) $

A questo punto però mi blocco, non so come continuare. Sai aiutarmi ?
Grazie mille nuovamene

[ZeroTime]

"TeM":[quote="ZeroTime"]Non ho ben capito i passaggi che hai svolto e così mi sono un po' messo al lavoro per capire come svolgere questa serie, riporto qui i passaggi.

Direi che ti conviene metterti al lavoro per capire quei due passaggi in croce che ti ho mostrato, dato che
con quelli non occorre risolvere alcun limite o corbelleria varia. Cerco di riesporti quanto ho scritto sopra.

Così come (spero) conosci la nota identità: \[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] valida per \(\forall\, x \in \mathbb{R}\), è bene conoscere anche quest'altra identità: \[ \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} \] valida per \(x > 0\).

In particolare, alla luce di quest'ultima identità, si ha \[ \arctan(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \] e in maniera naturale segue che \[ \arctan\left(k^{\frac{\alpha}{2}}\right) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{1}{k^{\frac{\alpha}{2}}}\right) \; . \] Arrivati qui, non credo sia difficile capire che \[ \sum_{k = 1}^{+\infty} \left(\frac{\pi}{2} - \arctan\left(k^{\frac{\alpha}{2}}\right) \right) = \sum_{k = 1}^{+\infty} \arctan\left(\frac{1}{k^{\frac{\alpha}{2}}} \right) \; . \] Siamo praticamente al traguardo!! Infatti, così come per \(x \to 0\) si ha \(\arctan x \sim x\), se
\(\alpha > 0\) allora per \(k \to +\infty\) si ha \(\arctan\left(\frac{1}{k^{\frac{\alpha}{2}}} \right) \sim \frac{1}{k^{\frac{\alpha}{2}}} \) e banalmente per confronto con
la serie armonica generalizzata si sa che per aver convergenza della serie occorre che \(\small \frac{\alpha}{2} > 1\)
ossia \(\alpha > 2\); essendo una serie a termini non negativi, per \(0 < \alpha \le 2\) si ha divergenza.

Fine dell'esercizio. [/quote]

Tutto chiarissimo, grazie mille.
P.s. Se non mi fossi ricordavo quell'identità e procedevo come mostrato nel messaggio precedente era un errore?

[Flamee1]

"TeM":[quote="ZeroTime"]Se non mi fossi ricordavo quell'identità e procedevo come mostrato nel messaggio precedente era un errore?

In tal caso l'applicazione del criterio del confronto asintotico va benissimo, però ora non dirmi che non sei in
grado di semplificare una frazione in cui sono presenti dei prodotti, dai!! Procedi che sei ormai al traguardo. [/quote]
TeM scusa se mi intrometto in una discussione non mia, anche io avrei risolto l'esercizio come l'autore di questo post,ma in che senso semplificare la frazione? Non ci sono termini simili ò.ò