Carattere di una serie

[alessandro.996]

Salve a tutti, sto cercando di studiare il carattere di questa serie. Finora ho pensato a praticamente tutti i criteri che conosco, ma forse ho sbagliato qualcosa e vi chiedo aiuto. La serie è:

$ sum_(n = \1..oo ) (ln(n)+1/e^n)/n^2 $

[dan952]

Direi criterio di condensazione

[alessandro.996]

Purtroppo non lo conosco, perchè non ci è stato spiegato.

[dan952]

Allora usa il criterio asintotico...
Ricorda che $\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{\ln n}{n^{\alpha}}=0\ \forall \alpha>0$

[alessandro.996]

Grazie ancora per la risposta dan.
Vediamo se ho afferrato il suggerimento.

$ sum_(n = \1..oo ) (ln(n)+1/e^n)/n^2 $

Verifico la condizione necessaria per la convergenza
$ \lim_{n \rightarrow +\infty}\ (ln(n)+1/e^n)/n^2=0$

Poichè, $ \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{\ln n}{n^{\2}}=0\ $ e $ \lim_{n \rightarrow +\infty}\ 1/n^2=0 $ Si osserva che

$ (ln(n)+1/e^n)/n^2 ~ ln(n)/n^2 ~ 1/n^2 $

Quindi, studiare il carattere della serie di partenza equivale a studiare il carattere della serie
$ sum_(n = \1..oo ) 1/n^2 $
che come sappiamo converge.

[dan952]

No attenzione non è vero che $\ln(n)/n^2 ~ 1/n^2$, il simbolo $~$ tra due termini generali di una successione o tra due funzioni sta a significare che sono asintoticamente equivalenti, ovvero $\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$. Detto questo, vediamo un criterio che in realtà è un caso particolare di quello asintotico:

Criterio asintotico (caso particolare). Sia data la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ a termini positivi e supponiamo che esista $\lim_{n \rightarrow +\infty} n^{\alpha}a_n=L \geq 0$:
Se $\alpha >1$ allora la serie converge
Se $\alpha \leq 1$ allora la serie diverge

[alessandro.996]

Va bene, grazie mille ancora, anche per avermi chiarito una mancanza piuttosto grave