Carattere assoluto e semplice. Serie numerica. Tema esame

55sarah
Questo è un esercizio da tema d'esame che NON sono riuscita a risolvere, oppure non sono giusta della sua risoluzione. Aiutatemi per favore.

Sia \(\displaystyle \sum a_n \) una serie a termini strettamente positivi divergente.
Che cosa si può dire del carattere semplice e assoluto della serie
\(\displaystyle \sum\frac{(-1)^n a_n}{1+(a_n)^2} \) ?

SVOLGIMENTO
all'inizio ho pensato che potevo fare i vari casi con le serie campione cioè

\(\displaystyle \sum \frac{1}{n^\alpha} \) che DIVERGE solamente quando \(\displaystyle \alpha \leqslant 1 \)

poi \(\displaystyle \sum q^n \) che diverge solamente quando \(\displaystyle q>1 \)

solamente che poi mi sembrava lungo come svolgimento.. Come si può risolvere più facilmente?

GRAZIE IN ANTICIPO!

Risposte
theras
Ciao!
Beh,certo che il criterio di Liebnitz ed i suoi due gemelli son chiamati evidentemente in causa,
nella serie di termine generale $b_n=(-1)^n(a_n)/(a_(n+1)^2)$!
Procediamo con ordine,allora,nidificando all'occorrenza la struttura if-then:
quanto pensi innanzitutto che conti il motivo per il quale diverge la tua serie di partenza?
Facci sapere:
saluti dal web.

55sarah
bé il testo dice che la serie deve divergere per cui che la serie diverga è importante!.. penso no?

è per questo ke stavo elencando le serie campione quando divergono..

theras
Certo,su questo siamo d'accordo
(anche perchè se non lo fossimo sulle cose evidenti questa comunicazione sarebbe nata davvero male :D )!
Ma il punto che mi sembra conti più,in partenza,
è distinguere i due possibili comportamenti al limite del termine generale in caso di divergenza d'una serie a termini >0:
parliamone..
saluti dal web.

55sarah
serie campione che DIVERGONO

\(\displaystyle \sum \frac{1}{n^\alpha} \Leftrightarrow \alpha\leqslant1\)

\(\displaystyle \sum q^n \Leftrightarrow q>1 \)

\(\displaystyle \sum \frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta} \Leftrightarrow \alpha\leqslant1, q\leqslant1\)

e ora cosa faccio? Non capisco quando parli i 2 comportamenti al limite..

theras
Beh,significa che una serie a termini positivi può divergere pur essendo infinitesimo il suo termine generale $a_n$
(che nel tuo tema d'esame,te lo dico non troppo per inciso,
è talmente generico da sconsigliare quei confronti asintotici da te attenzionati,
non foss'altro perchè quando scegli una serie campione tra quelle che hai considerato lo fai sopratutto in base alla legge di definizione del tuo termine generale..),
oppure proprio perchè ${a_n}_(text{n}inNN)$ non tende a 0:
ad occhio mi pare opportuno separare la trattazione del primo caso da quella del secondo
(e considerare,per quest'ultimo,i tre possibili sottocasi del comportamento al limite di $a_n$..),
e verificare per ognuno delle quattro eventualità possibili a quale ipotesi dei criteri per le serie a termini di segno alterno ci si può,in un modo o l'altro,ricondurre
(globalmente o da un certo indice in poi,ovvero definitivamente).
Saluti dal web.

55sarah
in sostanza quest'esercizio come si svolge? :smt104 spiegami meglio per favore..

uff..nn ho superato l'esame neanche questa volta..devo aspettare aprile per ridarlo!...

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