Capire la dimostrazione 2 teorema del Dini

[ee4]

Hola
Sto trovando qualche problemino nel capire gli ultimi passaggi del 2 teorema di Dini.
scrivo la dimostrazione per intero, sperando che qualcuno ci dia un'occhiata specialmente sui punti che sottolinerò!


H.p
$F(x,y) \in C^1 (A)$

$(x_0, y_0) \in A: F(x_0, y_0)=0$

T..h
(1) primo teorema del dini

(2) $f'(x) = - (F_x (x,f(x)))/(F_y(x,f(x)))$


dim
(1) ci sono le ipotesi del primo teorema del Dini, quindi è verificato

(2) fissato x, prendo un $h>0$ $/ x,x+h \in (x_0 -\delta , x_0 + \delta)$

costruiamo $F$, sapendo che $F(x,f(x))=0$ allora $F(x+h, f(x+h))=0$
troviamo un artificio, ponendo $\Delta f = f(x+h) - f(x)$ riscrivendo si ha:
$F(x+h, \Delta f + f(x))=0$

A tal punto applichiamo il teorema di Lagrange per funzioni a più variabili
(da qui mi perdo un pò!)
differenza della F:
$F(x+h, \Delta f + f(x)) - F(x,f(x))=0$

esiste $(a,b) \in (x, x+h) x (f(x), f(x+h)): 0 = F(x+h, \Delta f + f(x)) - F(x,f(x)) = F_x (a, b)*h + F_y(a, b)* \Delta f$

da cui:
$-(F_x (a, b))/( F_y(a, b)) = (\Delta f)/(\Delta x) = (\Delta f)/(h)$ (***)

sinceramente non so dove salti fuori quel $(\Delta x)$

per la continuità della $f$ si ha:
$lim_(h->0) (a,b) = (x, f(x))$ (questo limite NON LO CAPISCO.....)

detto ciò $(\Delta f)/(\Delta x)$ è un rapporto incrementale per $h->0$
e dunque si riscrive la (***) come

$f'(x) = -(F_x (a, b))/( F_y(a, b)) =-(F_x (x, f(x)))/( F_y(x, f(x))) $ da cui la tesi..


spero possiate illuminare questi piccoli passaggi, ve ne sarei grato!

[Quinzio]

Quello che hai scritto proviene probabilmente dai tuoi appunti.
Perchè non parti dalla spiegazione presa da un libro di testo, che è priva di errori e scritta nei termini giusti, con i giusti richiami e illustrazioni che servono ???