Campo spazio vettoriale gruppo
Differenza fra gruppo campo e spazio vettoriale in breve? 
Risposte
Sono tre differenti strutture algebriche, in breve:
Un gruppo è un insieme munito di un'operazione binaria rispetto alla quale è chiuso. L'operazione è associativa, ammette neutro e per ogni elemento dell'insieme ammette inverso. Ad esempio $(\mathbb{Z}, +)$ è un gruppo abeliano perché vale anche la commutativa.
Un campo è un insieme munito di due operazioni binarie rispetto alle quali è chiuso. Entrambe le operazioni sono associative, ammettono neutro e inverso (l'elemento nullo non ha inverso). Inoltre una delle due operazioni è distributiva rispetto all'altra. Ad esempio $(\mathbb{R},+,*)$ è un campo.
Uno spazio vettoriale è dato da un campo $(\mathbb{K})$ e da un insieme ($V$). Gli elementi di $\mathbb{K}$ vengono detti scalari e quelli di $V$ vettori.
$(V,+)$ è un gruppo commutativo (è quindi dotato di un'operazione per cui valgono le proprietà sopracitate).
E' inoltre definita un'operazione detta prodotto per uno scalare che definisce la "compatibilità" tra gli elementi del campo e quelli di $V$. Essa è associativa, ammette neutro, è distributiva rispetto alla somma di scalari e alla somma di vettori.
Ad esempio $\mathbb{R}[x]$, l'insieme dei polinomi a coefficienti reali, è uno spazio vettoriale.
Chiaramente questo è un elenco sommario di proprietà, non pretende di essere una spiegazione seria di questi argomenti.
Ciao!
Un gruppo è un insieme munito di un'operazione binaria rispetto alla quale è chiuso. L'operazione è associativa, ammette neutro e per ogni elemento dell'insieme ammette inverso. Ad esempio $(\mathbb{Z}, +)$ è un gruppo abeliano perché vale anche la commutativa.
Un campo è un insieme munito di due operazioni binarie rispetto alle quali è chiuso. Entrambe le operazioni sono associative, ammettono neutro e inverso (l'elemento nullo non ha inverso). Inoltre una delle due operazioni è distributiva rispetto all'altra. Ad esempio $(\mathbb{R},+,*)$ è un campo.
Uno spazio vettoriale è dato da un campo $(\mathbb{K})$ e da un insieme ($V$). Gli elementi di $\mathbb{K}$ vengono detti scalari e quelli di $V$ vettori.
$(V,+)$ è un gruppo commutativo (è quindi dotato di un'operazione per cui valgono le proprietà sopracitate).
E' inoltre definita un'operazione detta prodotto per uno scalare che definisce la "compatibilità" tra gli elementi del campo e quelli di $V$. Essa è associativa, ammette neutro, è distributiva rispetto alla somma di scalari e alla somma di vettori.
Ad esempio $\mathbb{R}[x]$, l'insieme dei polinomi a coefficienti reali, è uno spazio vettoriale.
Chiaramente questo è un elenco sommario di proprietà, non pretende di essere una spiegazione seria di questi argomenti.
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