Campo di esistenza funzione integrale $ int_(1)^(x) (e^(-t)/((t+3)root(3)(2+t)))$
Buongiorno a tutti, ho dei dubbi riguardo il calcolo del campo di esistenza delle funzioni integrali, e cercando nel web la risoluzione di questi esercizi non sono ancora a trovare un metodo ben preciso di risoluzione.
Ho preso questa funzione integrale come esempio.
Prima di tutto si calcola il campo di esistenza di f(t), che dovrebbe essere $t !=-3 $ e $ t != -2$ quindi $ (-infty, -3) U (-3, -2) U(-2, +infty) $
A questo punto iniziano i miei dubbi.
Ho visto che in alcuni esercizi del genere veniva fatto questo:
-l'estremo inferiore di integrazione è 1, e 1 si trova nell'intervallo $ (-2, +infty) $ quindi il campo di esistenza della funzione integrale è $ (1, +infty) $
-Oppure dopo questo discorso il campo di esistenza è direttamente l'intervallo $ (-2, +infty) $
-In altri esercizi ancora invece veniva controllata la sommabilità della funzione in questo caso nel punto -2 per vedere se la funzione integrale è continua in quel punto, in caso positivo si continuava con -3.
-Se in 2 e in 3 la funzione è sommabile allora il campo di esistenza è $ (-infty +infty)$,
-Se è sommabile solo in 2 allora l'intervallo è $(-3, +infty)$
-Se non è sommabile in 2 allora l'intervallo è $(-2, +infty)$
Questo è quello che ho "capito" sulla risoluzione di questi esercizi, e come vedete è tutt'altro che chiara la situazione. Qualcuno riuscirebbe a spiegarmi il corretto svolgimento di questi esercizi? Grazie
Ho preso questa funzione integrale come esempio.
Prima di tutto si calcola il campo di esistenza di f(t), che dovrebbe essere $t !=-3 $ e $ t != -2$ quindi $ (-infty, -3) U (-3, -2) U(-2, +infty) $
A questo punto iniziano i miei dubbi.
Ho visto che in alcuni esercizi del genere veniva fatto questo:
-l'estremo inferiore di integrazione è 1, e 1 si trova nell'intervallo $ (-2, +infty) $ quindi il campo di esistenza della funzione integrale è $ (1, +infty) $
-Oppure dopo questo discorso il campo di esistenza è direttamente l'intervallo $ (-2, +infty) $
-In altri esercizi ancora invece veniva controllata la sommabilità della funzione in questo caso nel punto -2 per vedere se la funzione integrale è continua in quel punto, in caso positivo si continuava con -3.
-Se in 2 e in 3 la funzione è sommabile allora il campo di esistenza è $ (-infty +infty)$,
-Se è sommabile solo in 2 allora l'intervallo è $(-3, +infty)$
-Se non è sommabile in 2 allora l'intervallo è $(-2, +infty)$
Questo è quello che ho "capito" sulla risoluzione di questi esercizi, e come vedete è tutt'altro che chiara la situazione. Qualcuno riuscirebbe a spiegarmi il corretto svolgimento di questi esercizi? Grazie
Risposte
il dominio di una funzione integrale è l'insieme formato da tutti i valori della x per cui $F(x)$ converge, anche impropriamente. per cui, dato il tuo estremo di integrazione finito, studi dove l'integranda è definita ed individui il più grande intervallo contenente $x_0 = 1$ in cui $f(t)$ è integrabile. quello sarà $dom F(x)$.
passando a quello che hai fatto.
il dominio di f è corretto. a questo punto noti che $1 in (-2,+oo)$
questo è il primo candidato ad essere il dominio di F. in questo intervallo l'unico punto in cui la f non è continua è $2$ vediamo se qui converge impropriamente valutandone la convergenza sia a destra che a sinistra. ti si aprono ora due possibilità:
passando a quello che hai fatto.
il dominio di f è corretto. a questo punto noti che $1 in (-2,+oo)$
questo è il primo candidato ad essere il dominio di F. in questo intervallo l'unico punto in cui la f non è continua è $2$ vediamo se qui converge impropriamente valutandone la convergenza sia a destra che a sinistra. ti si aprono ora due possibilità:
1. converge e quindi hai che il dominio di F è $[-2,+oo)$. ti ricordi adesso del dominio dell'integranda e noti che adesso hai $(-3,-2]$ e quindi il tuo possibile dominio di F si è esteso a $(-3,+oo)$ perchè -2 viene assorbito nel dominio in quanto lì F converge impropriamente
2. non converge ed allora $dom F =(-2,+oo)$
[/list:u:2x0qy3ix]
a questo punto iteri il procedimento.
"marcodal97":
-l'estremo inferiore di integrazione è 1, e 1 si trova nell'intervallo (−2,+∞) quindi il campo di esistenza della funzione integrale è (1,+∞)
probabilmente qui succedeva questo perchè 1 era un punto in cui f non era continua e l'integrale non era impropriamente convergente.
"cooper":
il dominio di una funzione integrale è l'insieme formato da tutti i valori della x per cui $F(x)$ converge, anche impropriamente. per cui, dato il tuo estremo di integrazione finito, studi dove l'integranda è definita ed individui il più grande intervallo contenente $x_0 = 1$ in cui $f(t)$ è integrabile. quello sarà $dom F(x)$.
passando a quello che hai fatto.
il dominio di f è corretto. a questo punto noti che $1 in (-2,+oo)$
questo è il primo candidato ad essere il dominio di F. in questo intervallo l'unico punto in cui la f non è continua è $2$ vediamo se qui converge impropriamente valutandone la convergenza sia a destra che a sinistra. ti si aprono ora due possibilità:
1. converge e quindi hai che il dominio di F è $[-2,+oo)$. ti ricordi adesso del dominio dell'integranda e noti che adesso hai $(-3,-2]$ e quindi il tuo possibile dominio di F si è esteso a $(-3,+oo)$ perchè -2 viene assorbito nel dominio in quanto lì F converge impropriamente
2. non converge ed allora $dom F =(-2,+oo)$
[/list:u:3vvjhajn]
a questo punto iteri il procedimento.
[quote="marcodal97"]-l'estremo inferiore di integrazione è 1, e 1 si trova nell'intervallo (−2,+∞) quindi il campo di esistenza della funzione integrale è (1,+∞)
probabilmente qui succedeva questo perchè 1 era un punto in cui f non era continua e l'integrale non era impropriamente convergente.[/quote]
Per x = -3 l'integrale non converge; ma allora il dominio non dovrebbe essere $ (-3, +infty) $ ? Visto che per valori più grandi di 3 l'integrale in teoria dovrebbe convergere e il problema si ha solo per $ x = 3 $ ?
EDIT: Si hai detto questo tu, avevo letto male, grazie mille comunque
"marcodal97":
Per x = -3 l'integrale non converge; ma allora il dominio non dovrebbe essere (−3,+∞) ? Visto che per valori più grandi di 3 l'integrale in teoria dovrebbe convergere e il problema si ha solo per x=3 ?
è $-3$ ma è solo una formalità
"marcodal97":
EDIT: Si hai detto questo tu, avevo letto male, grazie mille comunque
significa che hai capito?
"cooper":
[quote="marcodal97"]Per x = -3 l'integrale non converge; ma allora il dominio non dovrebbe essere (−3,+∞) ? Visto che per valori più grandi di 3 l'integrale in teoria dovrebbe convergere e il problema si ha solo per x=3 ?
è $-3$ ma è solo una formalità
"marcodal97":
EDIT: Si hai detto questo tu, avevo letto male, grazie mille comunque
significa che hai capito?[/quote]
Si penso di aver capito, correggimi se sbaglio.
Nel punto $ x = 2 $ l'integrale converge quindi il dominio è per ora $ [2, +infty) $.
Controllo a -3 la convergenza, nel caso si ha convergenza il dominio sarà $ (-infty, +infty) $.
Ma nel punto 3 l'integrale diverge quindi 3 non fa parte del dominio quindi il dominio sarà $ (-3, +infty) $.
Per vedere se ho capito faccio un altro esempio:
Nel caso il campo di esistenza di $f(t) $ fosse stato $ (-3, -2) U (-2, +infty) $.
-Se per x = -2 l'integrale diverge il campo di esistenza sarà $(-2, +infty) $
-Se per c= -2 l'integrale converge controllo a -3:
-se per x = -3 l'integrale converge il dominio sarà $ [-3, +infty)$;
-se per x= -3 l'integrale diverge il dominio sarà $ (-3, infty) $
E' corretto?
tutto corretto, si.
"cooper":
tutto corretto, si.
Ok grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo