Campo dei polinomi dominio di integrità

[92kiaretta]

Ciao a tutti, avrei una domanda di algebra:
Perchè il campo dei polinomi è privo di divisori dello zero? non riesco a capirlo. Grazie in anticipo

[ciampax]

Punto primo, se consideri un campo

[math]\mathbb{K}[/math]

allora l'insieme

[math]\mathbb{K}[x][/math]

dei polinomi a coefficienti nel campo è un anello, non un campo.

Ora, per dimostrare che tale insieme è un dominio di integrità, puoi procedere così (è una dimostrazione, non l'unica possibile): siano

[math]p(x)=\sum_{k=0}^N a_k x^k,\qquad\qquad q(x)=\sum_{k=0}^M b_k x^k[/math]

e supponiamo che

[math]p(x)\cdot q(x)=0[/math]

. Allora

[math]0=\sum_{n=0}^{N+M}\left(\sum_{k+h=n} a_k b_h\right) x^n=\sum_{n=0}^{N+M} c_n x^n[/math]

Ma essendo

[math]\{x^n\ :\ n\in\mathbb{N}\}[/math]

una base dello spazio dei polinomi (e quindi essendo vettori linearmente indipendenti) segue che deve essere

[math]c_n=0,\ 0\le n\le N+M[/math]

. Ora si ha

[math]0=c_n=\sum_{k+h=n} a_k b_h[/math]

e pertanto

-

[math]n=0[/math]

allora

[math]a_0 b_0=0[/math]

e quindi possiamo assumere

[math]a_0=0,\ b_0\not= 0[/math]

-

[math]n=1[/math]

allora

[math]a_0 b_1+a_1 b_0=0[/math]

e quindi

[math] a_1 b_0=0[/math]

da cui necessariamente

[math]a_1=0[/math]

- procedendo in questo modo, puoi dimostrare che tutti gli

[math]a_k=0[/math]

e quindi che

[math]p(x)=0[/math]