Campi conservativi ed irrotazionali

[manu911]

salve a tutti
vorrei chiedere il vostro aiuto riguardo ad una domanda fatta dal prof in un compito

"indicare quali relazioni intercorrono tra campi conservativi ed irrotazionali"

io so che un campo conservativo ha rotore nullo (e quindi irrotazionale) ma allo stesso tempo non è una condizione sufficiente

dato che il prof ha usato il plurale volevo sapere se ci sono altri collegamenti tra le due cose


grazie a tutti per l'attenzione

[Emar1]

La condizione $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$ è, come hai ricordato tu, solo necessaria. Se però il dominio di irrotazionalità del campo possiede delle determinate proprietà topologiche, la condizione diviene anche sufficiente.

Nello specifico, se il dominio è stellato e il campo è irrotazionale, allora il campo è conservativo (Lemma di Poincarè).

Un teorema che generalizza il precedente afferma è sufficiente la semplice connessione del dominio (e ovviamente l'irrotazionlità) a garantire la conservatività del campo.

[manu911]

dominio stellato cosa significa?

[Emar1]

Un insieme $A$ nello spazio euclideo si dice stellato se esiste un punto $x_0 \in A$, detto centro, tale che per ogni punto $x \in A$ il segmento $[x_0,x]$ è interamente contenuto nell'insieme $A$.

Ovviamente, un insieme stellato rispetto ad ogni suo punto è un insieme convesso.