Cambio variabili in equazioni differenziali

[GOCE]

dato il sistema (sono le equazioni del problema dei tre corpi)

\(\displaystyle \ddot x = 2\dot y + x - (1-\mu)\frac{x+\mu}{r_1^3}\ - \mu\frac{x-1+\mu}{r_2^3} \)
\(\displaystyle \ddot y = -2\dot x + y - (1-\mu)\frac{y}{r_1^3}\ - \mu\frac{y}{r_2^3} \)

con \(\displaystyle \mu \) costante e

\(\displaystyle r_1=\sqrt{(x+\mu)^2+y^2} \)
\(\displaystyle r_2=\sqrt{(x-1+\mu)^2+y^2} \)

effettuare il seguente cambio di variabili:

\(\displaystyle x=1-\mu+\mu^{1/3}\xi \)
\(\displaystyle y=\mu^{1/3}\eta \)

e poi calcolare il limite per \(\displaystyle \mu\rightarrow0 \). Il risultato dovrebbe essere:

\(\displaystyle \ddot\xi=2\dot\eta+3\xi-\frac{\xi}{\rho^3} \)
\(\displaystyle \ddot\eta=-2\dot\xi-\frac{\eta}{\rho^3} \)

dove

\(\displaystyle \rho=\sqrt{\xi^2+\eta^2} \)

Ci ho provato tantissime volte ma il sistema che trovo è

\(\displaystyle \ddot\xi=2\dot\eta-\frac{\xi}{\rho^3} \)
\(\displaystyle \ddot\eta=-2\dot\xi-\frac{\eta}{\rho^3} \)

Non riesco a capire dove sbaglio... potete darmi una mano? Riuscite a far comparire quel \(\displaystyle 3\xi \)? Serve che vi scriva esattamente quali passaggi ho fatto?
Grazie

[GOCE]

Il mio tentativo:

\(\displaystyle x=1-\mu+\mu^{1/3}\xi \)
\(\displaystyle \dot x=\mu^{1/3}\dot\xi \)
\(\displaystyle \ddot x=\mu^{1/3}\ddot\xi \)
\(\displaystyle y=\mu^{1/3}\eta \)
\(\displaystyle \dot y=\mu^{1/3}\dot\eta \)
\(\displaystyle \ddot y=\mu^{1/3}\ddot\eta \)

\(\displaystyle r_1=\sqrt{(1-\mu+\mu^{1/3}\xi+\mu)^2+(\mu^{1/3}\eta)^2} = \sqrt{(1+\mu^{1/3}\xi)^2+(\mu^{1/3}\eta)^2} \rightarrow 1\)
\(\displaystyle r_2=\sqrt{(1-\mu+\mu^{1/3}\xi-1+\mu)^2+(\mu^{1/3}\eta)^2} = \sqrt{(\mu^{1/3}\xi)^2+(\mu^{1/3}\eta)^2} = \mu\rho\)

Sostituisco nelle equazioni

\(\displaystyle \mu^{1/3}\dot\xi = 2\mu^{1/3}\dot\eta + 1-\mu+\mu^{1/3}\xi - (1-\mu)(1-\mu+\mu^{1/3}\xi+\mu)\ - \mu\frac{1-\mu+\mu^{1/3}\xi-1+\mu}{\mu \rho^3} \)
\(\displaystyle \mu^{1/3}\ddot\eta = -2\mu^{1/3}\dot\xi + \mu^{1/3}\eta - (1-\mu)\mu^{1/3}\eta\ - \mu\frac{\mu^{1/3}\eta}{\mu \rho^3} \)

Semplifico qualcosa e divido tutto per \(\displaystyle \mu^{1/3} \)

\(\displaystyle \dot\xi = 2\dot\eta -\mu^{2/3} +\mu^{2/3}(1-\mu+\mu^{1/3}\xi+\mu)\ - \frac{\xi}{\rho^3} \)
\(\displaystyle \ddot\eta = -2\dot\xi + \mu\eta\ - \frac{\eta}{\rho^3} \)

e quando \(\displaystyle \mu\rightarrow 0 \)

\(\displaystyle \dot\xi = 2\dot\eta - \frac{\xi}{\rho^3} \)
\(\displaystyle \ddot\eta = -2\dot\xi - \frac{\eta}{\rho^3} \)

Cosa ho sbagliato?