Cambio di variabile in una sommatoria

[Allee1]

Salve a tutti, vi scrivo per un aiuto su questo esercizio:
Devo calcolare il carattere della serie:

$Per: n>= 0$

$sum_(k =0)^n a^(n-k)$

credo di dovermi ricondurre alla serie geometrica e dunque effettuare un cambio di variabile, ponendo dunque

$l=n-k $

ma in questo caso come cambiano gli estremi della sommatoria, è giusto questo risultato:

$sum_(l = n)^0 a^l$

[Emar1]

Sì è corretto! Ovviamente puoi anche riscriverla come \(\sum_{l=0}^n a^l\) che è più naturale

[Allee1]

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta, puoi spiegarmi perchè è possibile scriverla anche nell'altro modo? Scusami se può sembrare banale ma il cambio di variabile e, in generale, lo studio delle serie mi è poco chiaro. In generale in che modo mi conviene ragionare?

[Emar1]

Il tuo ragionamento va bene, non c'è nulla di più.

Puoi riscrivere la serie in quel modo perché stai sommando sullo stesso insieme di indici ma con l'ordine inverso.

Il fatto è che in matematica non vai ad esplicitare l'incremento. In un linguaggio di programmazione avremmo delle scritture più esplicite:

for(i=0; i <= n; ++i)
{
sum = sum + a(i);
}

e

for(i=n; 0 <= i; --i)
{
sum = sum + a(i);
}

dove in un caso stiamo andando da $0$ a $n$ e nell'altro caso andiamo da $n$ a $0$.

In matematica c'è la convenzione che se l'indice di partenza è maggiore di quello di arrivo stai decrementando.

Spero di non averti confuso le idee