Cambiamento in coordinate polari
Ciao a tutti, come suggerisce il titolo, ho un problema con il cambiamento in coordinate polari:
Poniamo che ho un integrale doppio sul dominio $ D={(x,y) in RR : 0leqxleq 3 , 0leqyleqsqrt(1-x^2)} $ e che io abbia ridotto l'integrale $ int int_D f(x,y) dx dy $ nell'integrale $ int_(0)^(3) dx int_(0)^(sqrt(1-x^2)) f(x,y)dy $
Ho trasformato poi la funzione in coordinate polari, solo che adesso ho un dubbio su come trasformare gli estremi: mi son trovato che $ 0 le x^2+y^2 le 9 => 0 le rho le 3 $ ma per quanto riguarda $ theta $ e l'ordine di integrazione sono perplesso!
Poniamo che ho un integrale doppio sul dominio $ D={(x,y) in RR : 0leqxleq 3 , 0leqyleqsqrt(1-x^2)} $ e che io abbia ridotto l'integrale $ int int_D f(x,y) dx dy $ nell'integrale $ int_(0)^(3) dx int_(0)^(sqrt(1-x^2)) f(x,y)dy $
Ho trasformato poi la funzione in coordinate polari, solo che adesso ho un dubbio su come trasformare gli estremi: mi son trovato che $ 0 le x^2+y^2 le 9 => 0 le rho le 3 $ ma per quanto riguarda $ theta $ e l'ordine di integrazione sono perplesso!
Risposte
C'è qualcosa che non mi quadra, sei sicuro di aver ricopiato bene il testo? In quel dominio i punti di ascissa 3 neanche ci stanno. Semmai puoi integrare rispetto a $x$ tra $0$ e $1$. In ogni caso (tranne casi particolari) l'integrale non lo riduci in quel modo. Devi prima integrare la funzione rispetto a $y$ tra $0$ e $\sqrt{1-x^2}$ ottenendo una funzione di $x$ (dato che gli estremi sono variabili). Questa la integri poi tra $0$ e $1$ rispetto a x. Prima di parlare di cambio di variabili abbi chiaro questo 
Ops! ho sbagliato si, al posto dell'1 sotto la radice va il 9!! $ D={(x,y) in RR : 0lexle3,0leylesqrt(9-x^2)} $ è il giusto dominio infatti! L'abitudine di usare sempre la circ. unitaria...
Ho chiaro che con le formule di riduzione posso prima integrare rispetto a y da 0 a $ sqrt(9-x^2) $ e poi su x da 0 a 1. Il problema ce l'ho quando cerco di cambiare gli estremi di integrazione dopo un cambio di variabili!
Ho chiaro che con le formule di riduzione posso prima integrare rispetto a y da 0 a $ sqrt(9-x^2) $ e poi su x da 0 a 1. Il problema ce l'ho quando cerco di cambiare gli estremi di integrazione dopo un cambio di variabili!
Ok, devi fare così: devi integrare la funzione (moltiplicata per il raggio) tra $0$ e $3$ rispetto a $\rho$ e tra $0$ e $\frac{\pi}{2}$ rispetto a $\theta$ (non importa l'ordine).
Esempio:
$f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x^2+y^2}}$
$f(\rho,\theta)=\frac{sen \theta }{\rho}$
$\int_{D}f(x,y)dxdy=\int_{D}\rho f(\rho,\theta)d \rho d \theta=\int_{D} sen \theta d \rho d \theta= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen \theta d \theta \int_{0}^{3}d \rho$
Esempio:
$f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x^2+y^2}}$
$f(\rho,\theta)=\frac{sen \theta }{\rho}$
$\int_{D}f(x,y)dxdy=\int_{D}\rho f(\rho,\theta)d \rho d \theta=\int_{D} sen \theta d \rho d \theta= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen \theta d \theta \int_{0}^{3}d \rho$
Grazie mille:):)
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