Calcolo volume

[gilda290493]

Ragazzi mi serve un aiuto. Oggi c'e' stata la lezione sugli integrali tripli e per casa la prof ci ha assegnato il seguente problema:
Calcolare il volume del dominio limitato dalle superfici:

$ x^2+y^2+z^2=2Rz $
$ x^2+y^2=z^2 $

e che contiene il punto (0,0,R).

Ho provato con le coordinate sferiche ma mi sono bloccata sulla determinazione degli intervalli di integrazione.

Grazie a chiunque voglia darmi una mano.

Gilda

[rino6999]

$x^2+y^2+z^2=2Rz$ rappresenta la superficie della sfera di centro $C(0,0,R)$ e tangente nell'origine al piano $z=0$
risolviamo l'equazione $z^2-2Rz+x^2+y^2=0$
la superficie della semisfera superiore ha equazione,esplicitata rispetto a z ,
$z=R+sqrt{R^2-(x^2+y^2)}$

si può verificare che l'intersezione di questa superficie con quella di equazione $x^2+y^2=z^2$ è l'insieme dei punti tali che $x^2+y^2=R^2$

detto $D$ il cerchio limitato da questa circonferenza,il volume cercato si ottiene risolvendo l'integrale
$ int int_(D) dx dy $ $ int_(a)^(b) dz $
con
$a=sqrt(x^2+y^2)$
$b=R+sqrt(R^2-(x^2+y^2))$

l'integrale doppio che ne deriva si risolve agevolmente con le coordinate polari

[gilda290493]

Raf come sempre grazie 1000

Gilda

[srock510]

Grande Gilda!!! Giovanni ^^