Calcolo Tensoriale
Salve, vorrei chiedere aiuto per una dimostrazione.
Considerando R un tensore ortogonale, vorrei sapere come posso definire il suo differenziale $ delta R $, e come posso dimostrare che quest'ultimo è antimetrico.
(So che il differenziale di una funzione come ad esempio $ delta (x^2)=(2x)dx $ come lo posso indicare per il tensore R?)
Considerando R un tensore ortogonale, vorrei sapere come posso definire il suo differenziale $ delta R $, e come posso dimostrare che quest'ultimo è antimetrico.
(So che il differenziale di una funzione come ad esempio $ delta (x^2)=(2x)dx $ come lo posso indicare per il tensore R?)
Risposte
Che cos'è un tensore ortogonale?
"killing_buddha":
Che cos'è un tensore ortogonale?
Io pensavo tale che: $ R^T*R=I $
Ok, ma l'operazione che tu chiami cdot come va figurata? Voglio dire: un tensore è un elemento di \(\bigoplus V^{\otimes n}\); puoi parlare di tensori simmetrici (su \(\bigoplus V^{\otimes n}\) agisce il gruppo simmetrico, anzi, il gruppoide \(\mathbb{S} = \coprod_{n\ge 0} Sym(n)\)), di tensori antisimmetrici (su \(\bigoplus V^{\otimes n}\) agisce il gruppo alternante, anzi, il gruppoide \(\mathbb{S} = \coprod_{n\ge 0} Alt(n)\)), etc.
Molte algebre di tensori \(\bigoplus V^{\otimes n}\) si ottengono quozientando \(\bigoplus V^{\otimes n}\) per azioni di questo tipo. Mi aspetto che un tensore "ortogonale" si comporti come una matrice ortogonale, nel senso che mi aspetto esista una definizione generale che, ridotta al caso di un tensore \(\varrho \in V^\lor \otimes V\cong \hom(V,V)\) dia esattamente la nozione di matrice ortogonale \(\varrho^t = \varrho^{-1}\).
Nel caso di applicazioni lineari \(R \in V^\lor \otimes W\) e \(S \in W^\lor \otimes Z\) è facile vedere che la composizione si scrive, in formalismo tensoriale, come \( \text{ev}(S\otimes R)\), dove \(\text{ev}\colon W^\lor\otimes W \to k \) è la dualità canonica. A questo punto non è difficile definire $R$ "ortogonale" (ma ti serve un tensore "quadrato" di tipo $(p,p)$ sullo stesso spazio $V$! Non esiste una nozione di ortogonalità per cose che non sono endomorfismi) se esiste un $R'$ tale che \(R \cdot R' = 1\), \(R' \cdot R = 1\), intese come le applicazioni identiche di $V$ e di \(V^\lor\).
Se questa interpretazione del formalismo è corretta, e se $V$ ha un modo di definire dei differenziali, è abbastanza banale estendere le derivazioni che agiscono su $V$ alla sua algebra tensoriale.
Molte algebre di tensori \(\bigoplus V^{\otimes n}\) si ottengono quozientando \(\bigoplus V^{\otimes n}\) per azioni di questo tipo. Mi aspetto che un tensore "ortogonale" si comporti come una matrice ortogonale, nel senso che mi aspetto esista una definizione generale che, ridotta al caso di un tensore \(\varrho \in V^\lor \otimes V\cong \hom(V,V)\) dia esattamente la nozione di matrice ortogonale \(\varrho^t = \varrho^{-1}\).
Nel caso di applicazioni lineari \(R \in V^\lor \otimes W\) e \(S \in W^\lor \otimes Z\) è facile vedere che la composizione si scrive, in formalismo tensoriale, come \( \text{ev}(S\otimes R)\), dove \(\text{ev}\colon W^\lor\otimes W \to k \) è la dualità canonica. A questo punto non è difficile definire $R$ "ortogonale" (ma ti serve un tensore "quadrato" di tipo $(p,p)$ sullo stesso spazio $V$! Non esiste una nozione di ortogonalità per cose che non sono endomorfismi) se esiste un $R'$ tale che \(R \cdot R' = 1\), \(R' \cdot R = 1\), intese come le applicazioni identiche di $V$ e di \(V^\lor\).
Se questa interpretazione del formalismo è corretta, e se $V$ ha un modo di definire dei differenziali, è abbastanza banale estendere le derivazioni che agiscono su $V$ alla sua algebra tensoriale.
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