Calcolo tempo di assestamento
Salve a tutti! sto trovando qualche problema nel calcolo del tempo di assestamento nei sistemi dinamici lineari del secondo ordine.
In generale, la cosa si concretizza nello studio di una funzione, riassumerò un pò le cose:
La funzione nel dominio del tempo in un sistema del secondo ordine (ed in risposta al gradino) è
[tex]y(t)=1+\frac{e^{-\delta\omega_{n}t}}{\sqrt{1-\delta^{2}}}\sin\left[\omega_{n}\left(\sqrt{1-\delta^{2}}\right)t+\arccos\delta\right][/tex]
Detto [tex]V_r=\lim_{t \rightarrow +\infty} y(t)[/tex], si definisce tempo di assestamento il valore $T_a \in RR^+$ tale che $\forall t >T_a,$ si ha che $y(T_a)\in{0.95V_r,1.05V_r}$.
Ora, io devo trovare sto benedetto $T_a$. Leggendo il libro, mi sembra che per farlo dimostri che la funzione è sempre compresa tra $1+e^{-\delta \omega_n t}$ e $1-e^{-\delta \omega_n t}$, infatti poi il tutto si ridurrebbe a calcolare il valore di $t$ tale che $e^{-\delta \omega_n t}=0.05$.
Quindi ora mi chiedo, come posso fare a dimostrare che la funzione è compresa tra $1+e^{-\delta \omega_n t}$ e $1-e^{-\delta \omega_n t}$??' Mi basta anche solo che mi indichiate la retta via, più che la soluzione bella e pronta
In generale, la cosa si concretizza nello studio di una funzione, riassumerò un pò le cose:
La funzione nel dominio del tempo in un sistema del secondo ordine (ed in risposta al gradino) è
[tex]y(t)=1+\frac{e^{-\delta\omega_{n}t}}{\sqrt{1-\delta^{2}}}\sin\left[\omega_{n}\left(\sqrt{1-\delta^{2}}\right)t+\arccos\delta\right][/tex]
Detto [tex]V_r=\lim_{t \rightarrow +\infty} y(t)[/tex], si definisce tempo di assestamento il valore $T_a \in RR^+$ tale che $\forall t >T_a,$ si ha che $y(T_a)\in{0.95V_r,1.05V_r}$.
Ora, io devo trovare sto benedetto $T_a$. Leggendo il libro, mi sembra che per farlo dimostri che la funzione è sempre compresa tra $1+e^{-\delta \omega_n t}$ e $1-e^{-\delta \omega_n t}$, infatti poi il tutto si ridurrebbe a calcolare il valore di $t$ tale che $e^{-\delta \omega_n t}=0.05$.
Quindi ora mi chiedo, come posso fare a dimostrare che la funzione è compresa tra $1+e^{-\delta \omega_n t}$ e $1-e^{-\delta \omega_n t}$??' Mi basta anche solo che mi indichiate la retta via, più che la soluzione bella e pronta
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