Calcolo sviluppo di Taylor di un'equazione differenziale
Salve,
vi prego ditemi dove sbaglio, perché credo proprio di sbagliare.
Allora, sto svolgendo temi passati d'esame e tra le richiesta vi è:
Sia $y$ la soluzione massimale del seguente PdC:
$ y'(x) = y^2 - (1/(1+x^2))$ con condizione iniziale $y(0) = 1$, con $x>=0$
e sia $[0,b[$ il suo intervallo di definizione.
1. Calcolare lo sviluppo di Taylor di $y$ centrato in zero e arrestato al secondo ordine.
(Cominciamo con questo punto..).
Allora, io ho ragionato così:
E' noto che lo sviluppo di Taylor al secondo ordine è della forma:
$y(x) = y(x0) + y'(x0) (x-x0) + (y''(x0) (x-x0)^2)/2 + o((x-x0)^2)$
Va beh.. $y(0)$ me la da la condizione di Cauchy, ossia $y(0) = 1$
$y'(0)$ idem, basta che sostituisco, ossia $y'(0) = 1^2 - 1/(1+0^2)$, ossia $y'(0) = 0$
Passo a calcolare la derivata seconda, ossia
$y''(x) = d/dx(y'(x)) = d/dx(y(x)^2 - 1/(1+x^2)) = 2y(x)*y'(x) + (2x)/(1+x^2)^2$
Quindi sostituendo $y''(0) = 2 * 1 * 0 + 0 = 0$.
Ma quindi a questo punto avrei il seguente sviluppo di Taylor,
$y(x) = 1 + 0 + 0 +o((x)^2)$
Domanda. E' giusto fin qui? A me sembra strano, sopratutto ad un esame di Analisi 3 (CdL Matematica) che venga così...
è sbagliato qualcosa o la paranoia mi assale?
vi prego ditemi dove sbaglio, perché credo proprio di sbagliare.
Allora, sto svolgendo temi passati d'esame e tra le richiesta vi è:
Sia $y$ la soluzione massimale del seguente PdC:
$ y'(x) = y^2 - (1/(1+x^2))$ con condizione iniziale $y(0) = 1$, con $x>=0$
e sia $[0,b[$ il suo intervallo di definizione.
1. Calcolare lo sviluppo di Taylor di $y$ centrato in zero e arrestato al secondo ordine.
(Cominciamo con questo punto..).
Allora, io ho ragionato così:
E' noto che lo sviluppo di Taylor al secondo ordine è della forma:
$y(x) = y(x0) + y'(x0) (x-x0) + (y''(x0) (x-x0)^2)/2 + o((x-x0)^2)$
Va beh.. $y(0)$ me la da la condizione di Cauchy, ossia $y(0) = 1$
$y'(0)$ idem, basta che sostituisco, ossia $y'(0) = 1^2 - 1/(1+0^2)$, ossia $y'(0) = 0$
Passo a calcolare la derivata seconda, ossia
$y''(x) = d/dx(y'(x)) = d/dx(y(x)^2 - 1/(1+x^2)) = 2y(x)*y'(x) + (2x)/(1+x^2)^2$
Quindi sostituendo $y''(0) = 2 * 1 * 0 + 0 = 0$.
Ma quindi a questo punto avrei il seguente sviluppo di Taylor,
$y(x) = 1 + 0 + 0 +o((x)^2)$
Domanda. E' giusto fin qui? A me sembra strano, sopratutto ad un esame di Analisi 3 (CdL Matematica) che venga così...
è sbagliato qualcosa o la paranoia mi assale?
Risposte
Mi pare giusto. Non ti fare prendere dall'ansia e fai le cose con calma.
Ok grazie. Continuando con l'esercizio il secondo punto chiede
2. Provare che $y$ (soluzione massimale in $[0,b[$) è crescente in $[0,b[$
Il mio ragionamento è:
$y(x)$ crescente implica $y'(x) >= 0$.
Pertanto sarebbe da risolvere
$y'(x) >= 0 $ ossia $y^2 - 1/(1+x^2) >= 0$, ovvero
$y^2 >= 1/(1+x^2)$ che implica $y<= -sqrt(1/(1+x^2))$ e $y>= sqrt(1/(1+x^2))$
Concludo dicendo che poichè per ipotesi data $x>= 0$ e poichè $y$ soluzione massimale vive in $[0,b[$, risulta che $y'(x) >= 0$ in tutto l'intervallo. Così è provata la richiesta.
Questo punto sta bene o sbaglio?
2. Provare che $y$ (soluzione massimale in $[0,b[$) è crescente in $[0,b[$
Il mio ragionamento è:
$y(x)$ crescente implica $y'(x) >= 0$.
Pertanto sarebbe da risolvere
$y'(x) >= 0 $ ossia $y^2 - 1/(1+x^2) >= 0$, ovvero
$y^2 >= 1/(1+x^2)$ che implica $y<= -sqrt(1/(1+x^2))$ e $y>= sqrt(1/(1+x^2))$
Concludo dicendo che poichè per ipotesi data $x>= 0$ e poichè $y$ soluzione massimale vive in $[0,b[$, risulta che $y'(x) >= 0$ in tutto l'intervallo. Così è provata la richiesta.
Questo punto sta bene o sbaglio?
"AAnto":Il contrario: tu hai bisogno dell'implicazione \(y'\ge 0\Rightarrow\ y\text{ è crescente}.\).
$y(x)$ crescente implica $y'(x) >= 0$.
$y^2 >= 1/(1+x^2)$ che implica $y<= -sqrt(1/(1+x^2))$ e $y>= sqrt(1/(1+x^2))$
Concludo dicendo che poichè per ipotesi data $x>= 0$ e poichè $y$ soluzione massimale vive in $[0,b[$, risulta che $y'(x) >= 0$ in tutto l'intervallo. Così è provata la richiesta.
Manca il pezzo fondamentale. Come dimostri che $y^2 >= 1/(1+x^2)$???
"dissonance":
Il contrario: tu hai bisogno dell'implicazione \( y'\ge 0\Rightarrow\ y\text{ è crescente}. \).
Si, questo l'ho capito...
non riesco a capire dopo. Potresti aiutarmi?
Perchè non è andata bene con ho risolto?
"dissonance":Il contrario: tu hai bisogno dell'implicazione \( y'\ge 0\Rightarrow\ y\text{ è crescente}. \).
[quote="AAnto"]
$ y(x) $ crescente implica $ y'(x) >= 0 $.
$ y^2 >= 1/(1+x^2) $ che implica $ y<= -sqrt(1/(1+x^2)) $ e $ y>= sqrt(1/(1+x^2)) $
Concludo dicendo che poichè per ipotesi data $ x>= 0 $ e poichè $ y $ soluzione massimale vive in $ [0,b[ $, risulta che $ y'(x) >= 0 $ in tutto l'intervallo. Così è provata la richiesta.
Manca il pezzo fondamentale. Come dimostri che $ y^2 >= 1/(1+x^2) $???[/quote]
Ci provo..
Dovendo dimostrare che $y'>=0$ implica $y$ crescente, lo posso fare utilizzando il Teorema di Lagrange.
Allora
$y'>=0$ dall'equazione differenziale è equivalente a risolvere $y^2 - 1/(1+x^2) >=0 $.
Per il Teorema di Lagrange esisterà un punto $gamma € [0,b[$ tale che risulta
$(f(b) - f(0))/ (b - 0) = f'(gamma)$
Per ipotesi $y'>=0$, pertanto $(f(b) - f(0))/ (b - 0) >=0$
$(f(b) - f(0)) / b >=0$ , poichè $b>0$ risulta
$(f(b) - f(0))>=0$ ovvero
$f(b) >= f(0) $
Pertanto in $[0,b[$ la soluzione massimale è crescente.
!? Potresti spiegarmi se sta bene e nel caso dove no!?
........
"AAnto":Il contrario: tu hai bisogno dell'implicazione \( y'\ge 0\Rightarrow\ y\text{ è crescente}. \).
[quote="dissonance"][quote="AAnto"]
$ y(x) $ crescente implica $ y'(x) >= 0 $.
$ y^2 >= 1/(1+x^2) $ che implica $ y<= -sqrt(1/(1+x^2)) $ e $ y>= sqrt(1/(1+x^2)) $
Concludo dicendo che poichè per ipotesi data $ x>= 0 $ e poichè $ y $ soluzione massimale vive in $ [0,b[ $, risulta che $ y'(x) >= 0 $ in tutto l'intervallo. Così è provata la richiesta.
Manca il pezzo fondamentale. Come dimostri che $ y^2 >= 1/(1+x^2) $???[/quote]
Ci provo..
Dovendo dimostrare che $ y'>=0 $ implica $ y $ crescente, lo posso fare utilizzando il Teorema di Lagrange.
Allora
$ y'>=0 $ dall'equazione differenziale è equivalente a risolvere $ y^2 - 1/(1+x^2) >=0 $.
Per il Teorema di Lagrange esisterà un punto $ gamma € [0,b[ $ tale che risulta
$ (f(b) - f(0))/ (b - 0) = f'(gamma) $
Per ipotesi $ y'>=0 $, pertanto $ (f(b) - f(0))/ (b - 0) >=0 $
$ (f(b) - f(0)) / b >=0 $ , poichè $ b>0 $ risulta
$ (f(b) - f(0))>=0 $ ovvero
$ f(b) >= f(0) $
Pertanto in $ [0,b[ $ la soluzione massimale è crescente.
!? Potresti spiegarmi se sta bene e nel caso dove no!?[/quote]
Per il Teorema di Lagrange esisterà un punto $ gamma € [0,b[ $ tale che risulta
$ (f(x2) - f(x1))/ (x2 - x1) = f'(gamma) $
Per ipotesi $ y'>=0 $, pertanto $ (f(x2) - f(x1))/ (x2 - x1) >=0 $
$ (f(x2) - f(x1))/ (x2 - x1) $ , poichè $ x2>x1 $ risulta
$ (f(x2) - f(x1))>=0 $ ovvero
$ f(x2) >= f(x1) $
per ogni x2, x1 appartenenti a $[0,b[
Pertanto in $ [0,b[ $ la soluzione massimale è crescente.
........
"Vulplasir":
........
Potresti gentilmente dirmi come si fa? o almeno da dove dovrei partire? Scusa ma è importante
Anto, si direbbe che tu non abbia idea di ciò che stai facendo. Lascia stare il teorema di Lagrange, non c'entra niente qui. Leggiti l'intervento di arnett che mi sembra corretto.
Potreste dirmi come risolvereste voi il quesito, poiché non sto riuscendo a capire?
Arnett ha già risposto. È là che devi ragionare
Ci provo..
Fin quando risolvo dicendo che $y<= - sqrt(1/(1+x^2))$ e $y>= sqrt(1/(1+x^2))$ va bene?
(cioè, ciò che mi domando è: ma $y^2 >= 1/(1+x^2)$ non lo dimostro risolvendola che è verificata per valori esterni?)
comunque dovrei scegliere $y>= sqrt(1/(1+x^2))$ poiché vi è verificata la condizione iniziale del PdC..
Fin quando risolvo dicendo che $y<= - sqrt(1/(1+x^2))$ e $y>= sqrt(1/(1+x^2))$ va bene?
(cioè, ciò che mi domando è: ma $y^2 >= 1/(1+x^2)$ non lo dimostro risolvendola che è verificata per valori esterni?)
comunque dovrei scegliere $y>= sqrt(1/(1+x^2))$ poiché vi è verificata la condizione iniziale del PdC..
Quindi, per rispondere chiaramente alla domanda dovrei:
osservare che $y'(x) >= 0$ implica $y(x)$ crescente.
Pertanto risolvo $y^2 >= 1/(1+x^2)$, che è verificata per valori esterni.
Individuo l'intervallo nel quale cade la condizione iniziale del PdC.
E così provo che $y$ è crescente in $[0,b[$?
osservare che $y'(x) >= 0$ implica $y(x)$ crescente.
Pertanto risolvo $y^2 >= 1/(1+x^2)$, che è verificata per valori esterni.
Individuo l'intervallo nel quale cade la condizione iniziale del PdC.
E così provo che $y$ è crescente in $[0,b[$?
Ma se della soluzione si sa solo che y(0)=1 e che y'(0)=0, come si fa a dire che $y^2>=1/(1+x^2)$? Mi sembrate tutti impazziti
La curva verde è $sqrt(1/(1+x^2)$, le altre due verificano entrambe y(0)=1 e y'(0)=0
Si ma chi l'ha detto che vale $y>=sqrt(1/(1+x^2))$?
"Vulplasir":
Si ma chi l'ha detto che vale $ y>=sqrt(1/(1+x^2)) $?
Ma non è che vale poiché pongo $y'(x) >= 0$?
Comunque nel testo indica $x>= 0$
Ci riprovo.
Per il Teorema di Unicità (dovrebbe potersi applicare alla equazione in esame), la soluzione massimale $y$ non può intersecare le soluzioni costanti, ovvero quelle tali per cui $f(y,x) = 0$. In tal caso le soluzioni costanti sono date da $y^2 = 1/(1+x^2)$, ovvero $y = +- sqrt(1/(1+x^2))$.
(ALTRO DUBBIO). Osservo che, la condizione iniziale $y(0) = 1$ va bene per la soluzione costante $y= sqrt(1/(1+x^2))$.
Per il Teorema di Unicità (dovrebbe potersi applicare alla equazione in esame), la soluzione massimale $y$ non può intersecare le soluzioni costanti, ovvero quelle tali per cui $f(y,x) = 0$. In tal caso le soluzioni costanti sono date da $y^2 = 1/(1+x^2)$, ovvero $y = +- sqrt(1/(1+x^2))$.
(ALTRO DUBBIO). Osservo che, la condizione iniziale $y(0) = 1$ va bene per la soluzione costante $y= sqrt(1/(1+x^2))$.
"arnett":
Guarda che le motivazioni che avevi espresso nel post precedente, che io ti avevo corretto più che altro da un punto di vista linguistico, erano giuste.
$y=\sqrt(1/(1+x^2))$ non è costante! È una funzione trovata imponendo che sia nulla la derivata della soluzione, ossia è un luogo di punti stazionari.
Si mi sono espresso male. Ma il mio ultimo dubbio sta nel fatto che la condizione iniziale verifica $y = sqrt(1/(1+x^2))$. O sbaglio. E per il teorema di unicità dovrebbe essere proprio questa la soluzione massimale??
Comunque, ovviamente, grazie.. Solo che mi sa che questo da questo secondo punto dell'esercizio ne sono uscito più confuso di prima...
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