Calcolo sviluppo di Taylor di un'equazione differenziale
Salve,
vi prego ditemi dove sbaglio, perché credo proprio di sbagliare.
Allora, sto svolgendo temi passati d'esame e tra le richiesta vi è:
Sia $y$ la soluzione massimale del seguente PdC:
$ y'(x) = y^2 - (1/(1+x^2))$ con condizione iniziale $y(0) = 1$, con $x>=0$
e sia $[0,b[$ il suo intervallo di definizione.
1. Calcolare lo sviluppo di Taylor di $y$ centrato in zero e arrestato al secondo ordine.
(Cominciamo con questo punto..).
Allora, io ho ragionato così:
E' noto che lo sviluppo di Taylor al secondo ordine è della forma:
$y(x) = y(x0) + y'(x0) (x-x0) + (y''(x0) (x-x0)^2)/2 + o((x-x0)^2)$
Va beh.. $y(0)$ me la da la condizione di Cauchy, ossia $y(0) = 1$
$y'(0)$ idem, basta che sostituisco, ossia $y'(0) = 1^2 - 1/(1+0^2)$, ossia $y'(0) = 0$
Passo a calcolare la derivata seconda, ossia
$y''(x) = d/dx(y'(x)) = d/dx(y(x)^2 - 1/(1+x^2)) = 2y(x)*y'(x) + (2x)/(1+x^2)^2$
Quindi sostituendo $y''(0) = 2 * 1 * 0 + 0 = 0$.
Ma quindi a questo punto avrei il seguente sviluppo di Taylor,
$y(x) = 1 + 0 + 0 +o((x)^2)$
Domanda. E' giusto fin qui? A me sembra strano, sopratutto ad un esame di Analisi 3 (CdL Matematica) che venga così...
è sbagliato qualcosa o la paranoia mi assale?
vi prego ditemi dove sbaglio, perché credo proprio di sbagliare.
Allora, sto svolgendo temi passati d'esame e tra le richiesta vi è:
Sia $y$ la soluzione massimale del seguente PdC:
$ y'(x) = y^2 - (1/(1+x^2))$ con condizione iniziale $y(0) = 1$, con $x>=0$
e sia $[0,b[$ il suo intervallo di definizione.
1. Calcolare lo sviluppo di Taylor di $y$ centrato in zero e arrestato al secondo ordine.
(Cominciamo con questo punto..).
Allora, io ho ragionato così:
E' noto che lo sviluppo di Taylor al secondo ordine è della forma:
$y(x) = y(x0) + y'(x0) (x-x0) + (y''(x0) (x-x0)^2)/2 + o((x-x0)^2)$
Va beh.. $y(0)$ me la da la condizione di Cauchy, ossia $y(0) = 1$
$y'(0)$ idem, basta che sostituisco, ossia $y'(0) = 1^2 - 1/(1+0^2)$, ossia $y'(0) = 0$
Passo a calcolare la derivata seconda, ossia
$y''(x) = d/dx(y'(x)) = d/dx(y(x)^2 - 1/(1+x^2)) = 2y(x)*y'(x) + (2x)/(1+x^2)^2$
Quindi sostituendo $y''(0) = 2 * 1 * 0 + 0 = 0$.
Ma quindi a questo punto avrei il seguente sviluppo di Taylor,
$y(x) = 1 + 0 + 0 +o((x)^2)$
Domanda. E' giusto fin qui? A me sembra strano, sopratutto ad un esame di Analisi 3 (CdL Matematica) che venga così...
è sbagliato qualcosa o la paranoia mi assale?
Risposte
L'esercizio del tema d'esame propone un ulteriore punto..
3. Provare che $y$ (soluzione massimale) è convessa in $[0,b[$
Allora. Da $y'(x) = y^2 - 1/(1+x^2)$ trovo la derivata seconda, ovvero:
$y''(x) = 2y*y'(x) + (2x)/((1+x^2)^2$
Ora, credo, sulla falsa riga di prima devo provare che $y''(x) >0$ implica $y$ convessa. Vero? O sto sbagliando?
3. Provare che $y$ (soluzione massimale) è convessa in $[0,b[$
Allora. Da $y'(x) = y^2 - 1/(1+x^2)$ trovo la derivata seconda, ovvero:
$y''(x) = 2y*y'(x) + (2x)/((1+x^2)^2$
Ora, credo, sulla falsa riga di prima devo provare che $y''(x) >0$ implica $y$ convessa. Vero? O sto sbagliando?
"arnett":
Come ti ho detto, $y=\sqrt{1/(1+x^2)}$ non è soluzione dell'equazione differenziale; verificalo inserendola nell'equazione stessa. Per la convessità hai impostato le cose correttamente.
Certo si... hai ragione.
Per la convessità mi aiuteresti a concludere? Mi sa che mi sto perdendo
@arnett: 
begli interventi, e che pazienza
begli interventi, e che pazienza
Mah mi sembra una paraculata, il dato iniziale ci dice solo che $y=sqrt(1/(1+x^2))$ in x=0 e che y'(0)=0...dire che vale $y>=sqrt(1/(1+x^2))$ in un intorno di 0 equivale a dire che vale $y<=sqrt(1/(1+x^2))$, il fatto che la derivata sia nulla non ci dice niente sul fatto che in intorno di 0 la funzione cresca o decresca, inoltre pure la derivata seconda vale zero e non ci aiuta
Invece di questa roba alla buona, basta calcolare la derivata terza, si vede che è positiva in zero, da cui risulta che in zero si ha un flesso ascendente, ossia la funzione cresce a destra, da cui si può dire $y>=sqrt(1/(1+x^2))$ in un intorno di zero
"arnett":
[quote="AAnto"]
$y''(x) = 2y*y'(x) + (2x)/((1+x^2)^2$
Ora, credo, sulla falsa riga di prima devo provare che $y''(x) >0$ implica $y$ convessa. Vero? O sto sbagliando?
Riparti da qui. Sostituisci nella disuguaglianza l'espressione di $y'$ fornita dall'equazione differenziale. Come prima ottieni una disuguaglianza verificata solo in certe regioni del piano; si tratta, come prima, di controllare se la soluzione parte e rimane in una delle regioni in cui la disuguaglianza vale.[/quote]
Si, ma, pure studiare questa disequazione, non è che è molto agevole (credo).
Abbiamo:
$y''(x) > 0$ ovvero $2y*y' + (2x)/(1+x^2)^2 >0$
Se sostituisco l'espressione di $y'$ ottengo:
$2y [y^2 - 1/(1+x^2)] + (2x)/(1+x^2)^2 > 0$
Pertanto potrei concludere che la soluzione massimale $y$ in $[0,b[$ è convessa poiché $y''(x)$ è qui positiva. Giusto?
Comunque dal testo: $x>= 0$, mentre $y$ soluzione massimale è definita in $[0,b[
Comunque dal testo: $x>= 0$, mentre $y$ soluzione massimale è definita in $[0,b[
"Vulplasir":
Invece di questa roba alla buona, basta calcolare la derivata terza, si vede che è positiva in zero, da cui risulta che in zero si ha un flesso ascendente, ossia la funzione cresce a destra, da cui si può dire $y>=sqrt(1/(1+x^2))$ in un intorno di zero
La derivata terza dovrebbe essere questa, vero?
$y'''(x) = [2y' + 2y y''] + [2(1+x^2)^2 + 8x^2 (1+x^2)] / [(1+x^2)^2]$
$y'''(x) = 2[y' + y y''] + [2(1+x^2) + 8x^2]/[(1+x^2)^3]$
Quindi è composta da quantità sempre positive, pertanto è sicuramente positiva
La derivata terza ci serve solo in x=0 e risulta $y'''(0)=2$. Calcolare la derivata terza all'inizio serve per poter dire che in un intorno di 0 vale $y>=sqrt(1/(1+x^2))$ e poter continuare il famoso "metodo che si trova su tutti i libri seri", altrimenti la derivata y'(0)=0 non dà alcuna informazione sul comportamento locale attorno allo zero, pure la derivata seconda y''(0)=0 non dice nulla, bisogna proseguire con la terza
"Vulplasir":
Invece di questa roba alla buona, basta calcolare la derivata terza, si vede che è positiva in zero, da cui risulta che in zero si ha un flesso ascendente, ossia la funzione cresce a destra, da cui si può dire $y>=sqrt(1/(1+x^2))$ in un intorno di zero
Vulplasir ha ragione. Dal ragionamento di arnett non è sufficiente stabilire se la soluzione è crescente o decrescente. Se il ragionamento fosse corretto dovrebbe potersi applicare anche al problema
\[
\begin{cases} y'=y-x \\ y(0)=0\end{cases}\]
che ha soluzione esplicita \(y(x)=1+x -e^x\), ed è decrescente per \(x\ge 0\). Nessuno infatti garantisce che il dato iniziale, "sparato" con tangente orizzontale in \(x=0\), non finisca nella regione di decrescenza. Nel caso di questo esempio è sufficiente studiare \(y''(0)=-1<0\), quindi la soluzione parte decrescendo ed entra nella regione di decrescenza da cui non può uscire più.
[ot]Un esempio più estremo è
\[
\begin{cases} y'=y-x^2 \\ y(0)=0.\end{cases}\]
Qui la soluzione esplicita è \(y(x)= 2+2x+x^2-2e^x\), ancora una volta decrescente per \(x\ge 0\), nonostante in \(x=0\) abbia tangente orizzontale. La soluzione quindi parte tangente alla linea critica \(y=x^2\), ma poi si stacca per entrare nella regione di decrescenza \(y
"arnett":
E invece mi sono accorto di un errore grande come una casa, scusate; quello che dico nel post precedente vale se la curva di luoghi stazionari è strettamente decrescente. Ma una serie di sfortunati eventi porta la curva $y=\sqrt(1/(1+x^2))$ ad essere essa stessa localmente orizzontale in 0, quindi, in questo specifico caso, si butta via tutto, poiché nulla mi assicura che la soluzione non inizi a scendere più velocemente di $y=\sqrt(1/(1+x^2))$
Esatto, ci vuole un segno stretto da qualche parte, altrimenti se si annulla tutto non si può concludere nulla. Confesso che ad una prima occhiata ci ero cascato, poi riflettendo sull'intervento di Vulplasir mi sono reso conto che aveva ragione.
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