Calcolo somma di una serie con denominatore fattoriale

[Amedeodes]

Salve, poco tempo fa mi sono ritrovato nell'esame questa serie con la richiesta di calcolarne la somma:

$ sum_{n = 1}^{infty} sin^n 2 + 2/{ (n+1)!} $

Dopo averne appurato la convergenza ho pensato di iniziare a calcolarne il risultato separatamente in questo modo:

$sum _{n = 1} ^{infty} sin^n 2 + sum_{n = 1} ^{infty} 2/{ (n+1)!} $

Riconoscendo una serie geometrica nella prima il risultato dovrebbe essere $ 1 / {1-sin 2} $, ma nella seconda non so come poterlo trovare. Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie in anticipo e buona giornata .

[otta96]

Prova a tirare fuori il $2$, sistemare unpo' gli indici e cercare di riconoscere qualche serie notevole.

[Mephlip]

Ciao AmedeoDes, benvenuto sul forum!

"AmedeoDes":
Riconoscendo una serie geometrica nella prima il risultato dovrebbe essere $ 1 / {1-sin 2} $.

Questo è sbagliato, perché da come hai scritto la tua serie parte da $n=1$ mentre per $|q|<1$ hai $\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$.

Quindi, in realtà, hai:
$$\sum_{n=1}^\infty \sin^n 2=0+\sum_{n=1}^\infty \sin^n 2=-1+1+\sum_{n=1}^\infty \sin^n 2$$
$$=-1+\sin^0 2+\sum_{n=1}^\infty \sin^n 2=-1+\sum_{n=0}^\infty \sin^n 2=-1+\frac{1}{1-\sin 2}=\frac{\sin 2}{1-\sin 2}$$

[Amedeodes]

Grazie a entrambi per i consigli e le correzioni.

Cercando fra le serie notevoli ho trovato la seguente

$ sum _{n=0}^{infty} {x^n }/ {n!} = e ^ x $

e utilizzandola credo di aver risolto l'esercizio, potreste dirmi se l'ho usata correttamente?

$sum _ {n = 1}^{infty} sin^n 2 + 2/{(n+1)!} = sum _ {n = 1}^{infty} sin^n 2 +2 (sum _ {n = 1}^{infty} 1/{(n+1)!})$

Usando al posto di $n$, $m = n+1$ nella seconda serie

$ = sum _ {n = 0}^{infty}sin^n 2 - 1 +2 (sum _ {m = 2}^{infty} 1^m/{(m)!}) = $

$ = 1 / {1-sin 2} - 1 + 2(sum _ {m = 0}^{infty} 1^n/{m!} - 1/{1!} - 1/{0!}) = $

$ = {1}/{1 - sin 2} - 1 + 2( e - 2) = {1}/{1 - sin 2} + 2e - 5$

Grazie mille a tutti

[Lebesgue]

"AmedeoDes":
Riconoscendo una serie geometrica nella prima il risultato dovrebbe essere $ 1 / {1-sin 2} $, ma nella seconda non so come poterlo trovare. Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie in anticipo e buona giornata .

Mephlip ti ha giustamente corretto la parte della geometrica con il seno; per quanto riguarda il rimanente:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{(n+1)!}$ procediamo come segue:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{(n+1)!}=2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)!}$.

Rinominando gli indici: $n+1=m$ abbiamo:

$2\sum_{m=2}^\infty \frac{1}{m!}$

Aggiungiamo i termini mancanti per $m=0,1$

$2\left[\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!} - 1/(0!) -1/(1!)\right]$

Ora basta ricordarsi che

$e^x = \sum_{m=0}^\infty \frac{x^m}{m!}$

Per cui nel nostro caso, essendo $x^m=1$ per ogni valore di $m$, necessariamente deve essere $x=1$, da cui:

$2\left[\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!} - 1/(0!) -1/(1!)\right]=2[e-2]=2e-4$