Calcolo lunghezza di una curva
Salve,
per calcolare la lunghezza di una curva uso la formula di approssimazione di Cavalieri-Simpson poiché gli integrali sono impossibili da calcolare con le conoscenze attuali. Quasi sempre la formula approssima molto bene, però in questo caso no e vorrei saperne il motivo; inoltre vorrei sapere se c'è qualche altra formula di approssimazione da utilizzare nel caso Cavalieri-Simpson non funzioni.
Mentre il calcolatore mi dice che deve essere 16...
per calcolare la lunghezza di una curva uso la formula di approssimazione di Cavalieri-Simpson poiché gli integrali sono impossibili da calcolare con le conoscenze attuali. Quasi sempre la formula approssima molto bene, però in questo caso no e vorrei saperne il motivo; inoltre vorrei sapere se c'è qualche altra formula di approssimazione da utilizzare nel caso Cavalieri-Simpson non funzioni.
[math]g(t)= [2cos(t)+cos(2t),2sen(t)+sen(2t)][/math]
[math]t \epsilon [0,2\pi][/math]
[math]g'(t)= [-2sen(t)-2sen(2t),2cos(t)+2cos(2t)][/math]
[math]||g'(t)||= \sqrt{8+8cos(t)} = f(t)[/math]
[math]\int_{0}^{2\pi } f(t)dt= (\pi/3)(4+4\sqrt{0}+4) = 8,37[/math]
Mentre il calcolatore mi dice che deve essere 16...
Risposte
Dati un arco di curva
gione dello spazio contenente
prima specie):
lunghezza di
Nel caso in oggetto, data la curva di equazione vettoriale
per
formula di duplicazione del coseno:
segue che
Come puoi notare, i conti non sono nulla di che preoccuparsi. ;)
[math]\gamma[/math]
di equazione vettoriale [math](x,\,y,\,z) = \mathbf{r}(t)[/math]
per [math]t \in [a,\,b] \subset \mathbb{R}[/math]
e una funzione scalare [math]f(x,\,y,\,z)[/math]
definita in una re-gione dello spazio contenente
[math]\gamma[/math]
, per definizione di integrale di linea (di prima specie):
[math]\int_{\gamma} f\,ds := \int_a^b f(\mathbf{r(t)})|\mathbf{r}'(t)|dt[/math]
. Per calcolare la lunghezza di
[math]\gamma[/math]
è sufficiente porre [math]f(x,\,y,\,z) = 1[/math]
, ottenendo: [math]|\gamma| = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|dt\\[/math]
.Nel caso in oggetto, data la curva di equazione vettoriale
[math]\mathbf{r}(t) := (2\,\cos(t) + \cos(2t), \; 2\,\sin(t) + \sin(2t))[/math]
,per
[math]t \in [0,\,2\pi][/math]
, la lunghezza del proprio sostegno [math]\gamma[/math]
è:[math]|\gamma| = 2\sqrt{2}\int_0^{2\pi} \sqrt{1 + \cos t}\,dt[/math]
. Dunque, ricordando la formula di duplicazione del coseno:
[math]\small \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1[/math]
, segue che
[math]\small 1 + \cos t = 2\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)[/math]
e quindi si ottiene: [math]|\gamma| = 4\int_0^{2\pi} \left|\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right|\,dt = 8\int_0^{\pi} \cos\left(\frac{t}{2}\right)\,dt = 16\\[/math]
.Come puoi notare, i conti non sono nulla di che preoccuparsi. ;)
Beh si, effettivamente l'integrale qui era semplice, non l'ho proprio calcolato perché uso sempre la formula di Cavalieri-Simpson e funziona sempre. Volevo sapere perché in questo caso non funziona...
Premesso che se stai preparando un esame di analisi matematica credo sia
ragionevole il fatto che si pretenda l'applicazione di tecniche analitiche e
non numeriche (ma questo, in generale, dipende da quanto è consenziente
il vostro docente), utilizzando delle formule di approssimazione, per defini-
zione, si commette sempre e comunque un certo errore. Quello che impor-
ta, comunque, è che tale errore sia "piccolo" ( in base agli ambiti applicativi
si deciderà "quanto piccolo" ).
In particolare, una semplice "estensione" della regola di Simpson è questa:
dove l'errore commesso è pari ad
per qualche
A titolo d'esempio, ci poniamo come obiettivo il calcolo dell'integrale
A tale scopo, cominciamo col calcolare
si ottiene il "numeretto" tanto desiderato:
Non rimane che applicare la formuletta di cui sopra con
In conclusione, direi che alla domanda "perché non funziona"
si sia risposto in maniera più che esauriente, no? :)
ragionevole il fatto che si pretenda l'applicazione di tecniche analitiche e
non numeriche (ma questo, in generale, dipende da quanto è consenziente
il vostro docente), utilizzando delle formule di approssimazione, per defini-
zione, si commette sempre e comunque un certo errore. Quello che impor-
ta, comunque, è che tale errore sia "piccolo" ( in base agli ambiti applicativi
si deciderà "quanto piccolo" ).
In particolare, una semplice "estensione" della regola di Simpson è questa:
[math]
\small
\begin{aligned}
\int_{x_0}^{x_{2n}} f(x)\,dx
& \, = \, \frac{x_{2n} - x_0}{6\,n}\{f(x_0) + 4\,[f(x_1) + f(x_3) + \dots + f(x_{2n - 1})] \\
& + 2\,[f(x_2) + f(x_4) + \dots + f(x_{2n - 2})] + f(x_{2n})\} + R_n \; ,
\end{aligned}\\
[/math]
\small
\begin{aligned}
\int_{x_0}^{x_{2n}} f(x)\,dx
& \, = \, \frac{x_{2n} - x_0}{6\,n}\{f(x_0) + 4\,[f(x_1) + f(x_3) + \dots + f(x_{2n - 1})] \\
& + 2\,[f(x_2) + f(x_4) + \dots + f(x_{2n - 2})] + f(x_{2n})\} + R_n \; ,
\end{aligned}\\
[/math]
dove l'errore commesso è pari ad
[math]R_n = \frac{(x_{2n} - x_0)^5}{1440\,n^4}\left|f^{(4)}(x^*)\right|[/math]
, per qualche
[math]x^* \in [x_0,\,x_{2n}]\\[/math]
.A titolo d'esempio, ci poniamo come obiettivo il calcolo dell'integrale
[math]I := \int_0^{2\pi} \sqrt{8 + 8\,\cos t}\,dt[/math]
con un errore inferiore a [math]10^0\\[/math]
.A tale scopo, cominciamo col calcolare
[math]\small \begin{aligned}\underset{0 \le t \le 2\pi}{\max} f^{(4)}(t^*) = \frac{1}{4}\end{aligned}[/math]
(per [math]\small t^* = 0[/math]
) e quindi imponendo [math]\small \frac{(2\pi - 0)^5}{1440\,n^4}\left|\frac{1}{4}\right|< 10^0 \; \Rightarrow \; n > 1.14188[/math]
, si ottiene il "numeretto" tanto desiderato:
[math]n = 2\\[/math]
.Non rimane che applicare la formuletta di cui sopra con
[math]\small n = 2[/math]
:[math]\small I \approx \frac{\pi}{6}\left\{f(0) + 4\left[f\left(\frac{\pi}{2}\right) + f\left(\frac{3}{2}\pi\right)\right] + 2\,f(\pi) + f(2\pi)\right\} \approx 16.0365\\[/math]
.In conclusione, direi che alla domanda "perché non funziona"
si sia risposto in maniera più che esauriente, no? :)
Ah ecco allora il problema... io usavo sempre questa:
Grazie mille per la delucidazione.
[math](\frac{b-a}{6})(f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b))[/math]
Grazie mille per la delucidazione.
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