Calcolo Lunghezza Bordo della superficie
Salve,
sapete aiutarmi a risolvere questo quesito che riguarda il calcolo della lunghezza del bordo di una superficie. E' una giorno intero che cerco sul libro qualcosa che non trovo riguardo l'argomento. I quesiti sono:
1)Calcolare la lunghezza del bordo della superficie cilindrica compresa tra i piani $z=-1, z=1, $ avente per direttrice la curva di equazione $y=log(senx)$, $x in [pi/4, pi/2]$ e generatrici parallele all'asse $z$.
2)Data la superficie di equazione: $ z=sqrt(y^2 - x^2), (x,y) in B= {(x,y)inA: y>=0} $ . Calcolare la lunghezza del bordo di $S$.
Soprattutto sapete spiegarmi in modo semplice cos'è un bordo di una superficie?? Da quello che ho capito è la rappresentazione parametrica della frontiera del dominio su cui è definita la superficie parametrizzata, esempio una superficie S viene parametrizzata dai parametri $(t,tau) in B $. $B$ sarebbe il dominio di $S(t,tau)$. La frontiera di questo dominio è il bordo. Ragionandoci un po avevo pensato che essendo la frontiera di un dominio allora vuol dire che è una curva, ma se è una curva la lunghezza del bordo si calcola con l'integrale della norma della curva?? Non so se è giusto questo che ho detto ma non ho trovato nessuna informazione a riguardo..Potete aiutarmi voi e correggermi nel caso abbia detto un mucchio di sciocchezze? Grazie.
sapete aiutarmi a risolvere questo quesito che riguarda il calcolo della lunghezza del bordo di una superficie. E' una giorno intero che cerco sul libro qualcosa che non trovo riguardo l'argomento. I quesiti sono:
1)Calcolare la lunghezza del bordo della superficie cilindrica compresa tra i piani $z=-1, z=1, $ avente per direttrice la curva di equazione $y=log(senx)$, $x in [pi/4, pi/2]$ e generatrici parallele all'asse $z$.
2)Data la superficie di equazione: $ z=sqrt(y^2 - x^2), (x,y) in B= {(x,y)inA: y>=0} $ . Calcolare la lunghezza del bordo di $S$.
Soprattutto sapete spiegarmi in modo semplice cos'è un bordo di una superficie?? Da quello che ho capito è la rappresentazione parametrica della frontiera del dominio su cui è definita la superficie parametrizzata, esempio una superficie S viene parametrizzata dai parametri $(t,tau) in B $. $B$ sarebbe il dominio di $S(t,tau)$. La frontiera di questo dominio è il bordo. Ragionandoci un po avevo pensato che essendo la frontiera di un dominio allora vuol dire che è una curva, ma se è una curva la lunghezza del bordo si calcola con l'integrale della norma della curva?? Non so se è giusto questo che ho detto ma non ho trovato nessuna informazione a riguardo..Potete aiutarmi voi e correggermi nel caso abbia detto un mucchio di sciocchezze? Grazie.
Risposte
Grazie mille per la tua risposta. Quindi come avevo intuito essendo il bordo una curva, per calcolarne la lunghezza possiamo adoperare la formula $ L_gamma $ = $ int_(a)^(b) |gamma'(t)| dt $ ?? Con $ gamma(t)$ , $ t in [a,b] $, parametrizzazione della curva. I lati paralleli all'asse $O_z$ dovrebbero essere da $-1$ a $1$, quindi misurano $2$ ognuno.
Parametrizzando la direttrice $y=logsenx$ in questo modo:
$ { ( x=t ),( y=log(sent) ):} $ con $t in [pi/4, pi/2]$
ottengo:
$ 2[2 + int_(pi/4)^(pi/2) sqrt(1+(cost/(sent))^2) dt] = 4 - 2logtan(pi/8) $
E' giusto come procedimento??
Per l'esercizio $2$ ho ricontrollato la traccia e dice che $A$ è la porzione di cerchio $C$ di centro l'origine e raggio $1$ contenuta nell'insieme di definizione di $ f(x,y)=sqrt(y^2 - x^2) $.
Parametrizzando la direttrice $y=logsenx$ in questo modo:
$ { ( x=t ),( y=log(sent) ):} $ con $t in [pi/4, pi/2]$
ottengo:
$ 2[2 + int_(pi/4)^(pi/2) sqrt(1+(cost/(sent))^2) dt] = 4 - 2logtan(pi/8) $
E' giusto come procedimento??
Per l'esercizio $2$ ho ricontrollato la traccia e dice che $A$ è la porzione di cerchio $C$ di centro l'origine e raggio $1$ contenuta nell'insieme di definizione di $ f(x,y)=sqrt(y^2 - x^2) $.
Essendo un solido il bordo dovrebbe essere una superficie giusto? Quindi la lunghezza si calcola come un integrale superficiale.. ma una domanda: come posso parametrizzarla ora questa superficie??
Vedendo l'immagine me lo sono immaginato pieno il 'guscio' xD. Ora però non riesco a capirli quali sono i lati paralleli all'asse $O_z$. Come la posso parametrizzare la curva in questo caso??
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