Calcolo limiti
Riprendo da qui
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=8660
Uber, io mi riferiverivo a tutti i limiti, usando la regola di moltiplicazione per gli infiniti... è il metodo a me risulta corretto in ogni caso... quali sarebbero questi casi di errore?
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=8660
Uber, io mi riferiverivo a tutti i limiti, usando la regola di moltiplicazione per gli infiniti... è il metodo a me risulta corretto in ogni caso... quali sarebbero questi casi di errore?
Risposte
non mi ricordo... mi ricordo che rimasi tremendamente stupito quando il prof fece alla lavagna un limite che aveva un risultato assurdo... e disse che era una contraddizione che derivava dal fatto che fosse passato al limite prima su un fattore e poi su un altro, che equivale a staccare i limiti e poi farli separatamente
no, è impossibile e qual è questo controesempio? credo che si possa anche dimostrare la sua non esistenza e qualcuno confermerà, ammenocchè non si tratti di un caso particolare...
grazie lore! mi spiace comunque ancora per il caos che ho scatenato..ecco quest'altro esercizio che non riesco a risolvere:
$lim_(x->0+)((lnx)/(ln(e^x-1)))
ps.dice di risolverlo solo con de l'hospital
$lim_(x->0+)((lnx)/(ln(e^x-1)))
ps.dice di risolverlo solo con de l'hospital
Il limite vale 1 e con de L'Hopital (+ un limite notevole ) non è difficile ...
Anche se dice di risolverlo con De L'Hopital,
non è assolutamente necessario, infatti
basta ricordarsi che $lim_(x->0^(+)) (e^x-1)/x = 1$,
da cui $e^x-1=x(1+o(1))$ per $x->0^(+)$.
Per cui si ha:
$(lnx)/(ln(x(1+o(1))))=(lnx)/(lnx+o(1))$
che tende ovviamente a 1 per $x->0^+$.
non è assolutamente necessario, infatti
basta ricordarsi che $lim_(x->0^(+)) (e^x-1)/x = 1$,
da cui $e^x-1=x(1+o(1))$ per $x->0^(+)$.
Per cui si ha:
$(lnx)/(ln(x(1+o(1))))=(lnx)/(lnx+o(1))$
che tende ovviamente a 1 per $x->0^+$.
quel limite vale uno perche $lim(x->0+) lnx/(ln(e^x-1)$=$lim(x->0+)(1/x)/(1/(e^x-1)e^x)$=$lim(x->0+)1/x(e^x-1)/(e^x)$=$lim(x->0+)1/x(1-1/e^x)$=$lim(x->0+)(1-1/e^x)/x$=$lim(x->0+)(1/e^x)/1=1$
cioè ragazzi sono così felice di aver scoperto questo forum che appena sono approdato qui da google ed ho letto il post di angy87 ho svolto l'esercizio, l'ho scannerizzato ed ero pronto già a mandarlo per email, poi tornando mi sono un po' calmato ed ho dato un'occhiata al forum trovando questo metodo di scrivere le formule direttamente. come si vede devo ancora mettere a punto il metodo che si usa per scriverle però sono contentissimo di avere la possibilità di avere amici con cui condividere il mio amore per la matematica da qualche tempo riscoperto, come potete vedere dai miei passaggi uso metodi ancora molto elementari, dico in confronto al post di fireball, che il punto a cui devo arrivare io, tutto sommato sto a buon punto considerato che ho fatto tutto da solo, comincindo dal concetto di punto e polinomio
Benvenuto! Mah, non è che le "mie" tecniche siano
chissà che... Sono solo un metodo alternativo
oltre al solito e meccanico De L'Hopital, che vedo anche tu hai usato.
chissà che... Sono solo un metodo alternativo
oltre al solito e meccanico De L'Hopital, che vedo anche tu hai usato.
si penso che usare l'o piccolo per la risoluzione dei limiti sia molto più matematico, senza contare che la mia professoressa svolge limiti fattibili solo con l'o piccolo. di fatto ancora non sono riuscito ad approfondire l'argomento perchè il mio libro dello scientifico non lo approfondisce affatto e sono in un periodo di transizione con quello dell'università
Ti avviso comunque che quello che ho scritto
io non si basa, se vogliamo, per niente sugli
o-piccoli: bisogna solo tener conto del fatto
che $o(1)$ denota una qualsiasi quantità infinitesima
per $x->0^+$, niente di più!
io non si basa, se vogliamo, per niente sugli
o-piccoli: bisogna solo tener conto del fatto
che $o(1)$ denota una qualsiasi quantità infinitesima
per $x->0^+$, niente di più!
"fireball":
$e^x-1=x(1+o(1))$ per $x->0^(+)$.
Per cui si ha:
dico non sono ancora in grado di comprendere pienamente questo passaggio
Sia: $lim_(x->c) f(x) = cc L$
Allora si ha ovviamente: $lim_(x->c) (f(x)-cc L) = 0$,
perché praticamente sottraggo al limite il limite stesso, ok?
Ora, se noi denotiamo con $o(1)$ un infinitesimo per $x->c$,
sarà: $o(1)=f(x)-cc L$ da cui $f(x)=cc L+o(1)$,
per $x->c$. Allora si ha la seguente scrittura (scrittura fuori dal segno di limite):
$f(x)=cc L+o(1)$ per $x->c$. Quindi il comportamento
LOCALE (ci riferiamo infatti ad un intorno di c) di una funzione può essere descritto
scrivendo la funzione come somma del suo limite per $x->c$ e di un infinitesimo
per $x->c$. In tal caso quindi si ha:
$lim_(x->0^+) (e^x-1)/x=1=>(e^x-1)/x=1+o(1)=>e^x-1=x(1+o(1))$ per $x->0^+$.
Chiaro? Ovviamente se $o(1)$ è un infinitesimo (cioè tende a 0) per $x->0^+$, $1+o(1)$ sarà
una quantità che tende a 1 per $x->0^+$.
Allora si ha ovviamente: $lim_(x->c) (f(x)-cc L) = 0$,
perché praticamente sottraggo al limite il limite stesso, ok?
Ora, se noi denotiamo con $o(1)$ un infinitesimo per $x->c$,
sarà: $o(1)=f(x)-cc L$ da cui $f(x)=cc L+o(1)$,
per $x->c$. Allora si ha la seguente scrittura (scrittura fuori dal segno di limite):
$f(x)=cc L+o(1)$ per $x->c$. Quindi il comportamento
LOCALE (ci riferiamo infatti ad un intorno di c) di una funzione può essere descritto
scrivendo la funzione come somma del suo limite per $x->c$ e di un infinitesimo
per $x->c$. In tal caso quindi si ha:
$lim_(x->0^+) (e^x-1)/x=1=>(e^x-1)/x=1+o(1)=>e^x-1=x(1+o(1))$ per $x->0^+$.
Chiaro? Ovviamente se $o(1)$ è un infinitesimo (cioè tende a 0) per $x->0^+$, $1+o(1)$ sarà
una quantità che tende a 1 per $x->0^+$.
OHH! e già mi sono chiarito un po' di cose. quella scrittura vale nel particolare contesto in cui la variabile tende a zero+
un' altra cosa che mi ha incuriosito sull'argomento:
1) o(1) viene introdotto con il teorema del resto di peano?
2) come funziona l'algebra degli o piccoli?
ad esempio sviluppando il secondo mebro:
$x(1+o(1)) = x+o(1)$
può essere vero?
o forse cambia l'ordine di infinitesimo...
3) cosa significa l'uno che sta dentro le parentesi? è percaso l'ordine di infinitesimo (rispetto a quale campione...)
scusa il bombardamento, sono veramente affamato !!
un' altra cosa che mi ha incuriosito sull'argomento:
1) o(1) viene introdotto con il teorema del resto di peano?
2) come funziona l'algebra degli o piccoli?
ad esempio sviluppando il secondo mebro:
$x(1+o(1)) = x+o(1)$
può essere vero?
o forse cambia l'ordine di infinitesimo...
3) cosa significa l'uno che sta dentro le parentesi? è percaso l'ordine di infinitesimo (rispetto a quale campione...)
scusa il bombardamento, sono veramente affamato !!
"angy1987":
grazie lore! mi spiace comunque ancora per il caos che ho scatenato..ecco quest'altro esercizio che non riesco a risolvere:
$lim_(x->0+)((lnx)/(ln(e^x-1)))
ps.dice di risolverlo solo con de l'hospital
Angy però postali nell'altra sezione i tuoi es... ho separato apposta le due discussioni
infatti dal tuo passaggio non riesco a capire come possa essere:
$ln(x+o(1))=lnx+o(1)$
$ln(x+o(1))=lnx+o(1)$
Chiedo di usare questo spazio solo per dare delle risposte a Angy
penso di essermi intromesso nella vostra discuss
penso di essermi intromesso nella vostra discuss
"micheletv":
Chiedo di usare questo spazio solo per dare delle risposte a Angy
penso di essermi intromesso nella vostra discuss
No devo essermi espresso male io
in realtà avrei voluto lasciare a Angy lo spazio in "medie e superiori" e continuare qui la discussione sui limiti con uber e altri....
Per micheletv:
ti ho già detto che è sufficiente che tu assuma
$o(1)$ come una semplice notazione che
indica un QUALCOSA CHE TENDE A 0,
lascia stare tutto il resto. Inoltre, dici tu:
leggi bene! Ho scritto: $ln(x(1+o(1)))=lnx+ln(1+o(1))=$
(logaritmo di un prodotto = somma dei logaritmi)
$=lnx+o(1)$ in quanto se l'argomento del logaritmo
tende a 1 (cioè è $1+o(1)$), il logaritmo tende a 0.
ti ho già detto che è sufficiente che tu assuma
$o(1)$ come una semplice notazione che
indica un QUALCOSA CHE TENDE A 0,
lascia stare tutto il resto. Inoltre, dici tu:
infatti dal tuo passaggio non riesco a capire come possa essere:
$ln(x+o(1))=lnx+o(1)$
leggi bene! Ho scritto: $ln(x(1+o(1)))=lnx+ln(1+o(1))=$
(logaritmo di un prodotto = somma dei logaritmi)
$=lnx+o(1)$ in quanto se l'argomento del logaritmo
tende a 1 (cioè è $1+o(1)$), il logaritmo tende a 0.
grazie, ci sto studiando 
ops..! pardon.. in ogni caso grazie a tutti! è che purtroppo nel mio liceo la matematica la si fa malissimo perciò ho diverse lacune che riguardano diversi argomenti.
questo è irritante perchè adoro la matematica e quando non riesco a capire delle cose mi incavolo come una bestia
per es. che cavolo è il sistema dell'o piccolo? non ce l'hanno spiegato..e non sta nemmeno sul mio libro..-.- sono troppo curiosa! come si applica?
grazie di nuovo a tutti in ogni caso
(w la matematica)
questo è irritante perchè adoro la matematica e quando non riesco a capire delle cose mi incavolo come una bestia
per es. che cavolo è il sistema dell'o piccolo? non ce l'hanno spiegato..e non sta nemmeno sul mio libro..-.- sono troppo curiosa! come si applica?
grazie di nuovo a tutti in ogni caso
(w la matematica)
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