Calcolo limite successione

[francicko]

So che $lim_(n->infty)(a_1+a_2+......a_n)/n=lim_(n->infty)(a_n)$
Mi chiedevo qual'è il valore del limite $lim_(n->infty)(a_1+a_2+......+a_n)/(sqrt (n)) $?
Potreste darmi un aiuto?

[kobeilprofeta]

$lim_{n to +infty} frac{a_1+a_2+...+a_n}{sqrt(n)}=lim_{n to +infty} frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}*lim_{n to +infty} sqrt(n)$

[francicko]

Grazie, mi ero perso in un bicchiere d'acqua!
Il limite che mi proponevo di calcolare era il seguente:
$lim_(n->infty)(1+1/(sqrt(2))+..........+1/(sqrt (n)))/(sqrt (n)) $, pertanto essendo $lim_(n->infty)(1+1/(sqrt (2))+.......+1/(sqrt (n)))/n=lim_(n->infty)(1/(sqrt (n)))$, avremo che il valore del limite sara' $lim_(n->infty)(1/(sqrt (n)))×(sqrt (n))=1$, e' corretto?

[kobeilprofeta]

spiega questa:
$lim_{n to +infty} frac{1+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)}{n}= lim_{n to +infty} 1/sqrt(n)$...

[francicko]

Il teorema dovuto ad E.Cesaro, asserisce che se la successione ${a_n}$, e ' regolare e' anche regolare ed ammette lo stesso limite la successione $(a_1+a_2+......+a_n)/n$, cioe' vale la relazione $lim_(n->infty)(a_1+a_2+.......+a_n)/n=lim_(n->infty)a_n $, e nel caso del limite proposto, ponendo $a_n=1/(sqrt (n)) $ e da qui il valore del limite $1$.

[francicko]

E' corretta l'applicazione del teorema in questo caso?

[dissonance]

"kobeilprofeta":$lim_{n to +infty} frac{a_1+a_2+...+a_n}{sqrt(n)}=lim_{n to +infty} frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}*lim_{n to +infty} sqrt(n)$

???

No. A destra hai una espressione che contiene degli infiniti ($\lim_{n\to \infty}\sqrt{n}$), quindi questa fattorizzazione è sbagliata.

[kobeilprofeta]

A meno di forme di indeterminazione (zero per infinito), spezzare un limite del prodotto come prodotto dei limiti in R esteso mi sembra corretto...

[francicko]

A me sembra giusto ciò che asserisce @kobeilprofeta, magari poi mi sbaglio, invece e' errata la sostituzione che ho fatto io,
in quanto il teorema di Cesaro non mi dice che $(1+1/(sqrt (2))+1/(sqrt (3))+........+1/(sqrt (n)))/n ~1/(sqrt (n))$ ma solo che i limiti sono uguali, pertanto non approdo a nulla.

[kobeilprofeta]

infatti a me il limite viene 2 invece che 1

[dissonance]

"kobeilprofeta":A meno di forme di indeterminazione (zero per infinito), spezzare un limite del prodotto come prodotto dei limiti in R esteso mi sembra corretto...

Certamente, infatti la mia critica sta proprio nel fatto che non si può escludere a priori la forma di indeterminazione. Se hai tenuto conto di questa cosa, allora ignora pure il mio remark

[francicko]

x@kobeilprofeta.
Il valore del limite che hai ottenuto è ' giusto, puoi postare lo svolgimento.
Grazie!