Calcolo limite mediante limiti notevoli

[oiraD93]

Salve.
Desideravo sapere se è possibile risolvere il seguente limite utilizzando i limiti notevoli, oppure se è opportuno utilizzare le forme asintotiche:

$lim_(x->0)ln(x+e^x)/(x)$

attendo risposte, grazie in anticipo

[Mephlip]

Potresti provare a raccogliere $e^x$ dentro al logaritmo e vedere cosa succede.

[oiraD93]

ci avevo pensato, ma poi non so come continuare...
a quale limite notevole dovrei ricondurmi?

[Mephlip]

Sfrutta le proprietà dei logaritmi.
I limiti notevoli da considerare sono quelli dell'esponenziale e del logaritmo!

[pilloeffe]

Ciao Pel10,

"Pel10":ci avevo pensato, ma poi non so come continuare...

Poi usi una ben nota proprietà dei logaritmi, che dice che il logaritmo di un prodotto è uguale a...

"Pel10":se è possibile risolvere il seguente limite utilizzando i limiti notevoli, oppure se è opportuno utilizzare le forme asintotiche:

Più che le forme asintotiche userei la regola di de l'Hôpital, mediante la quale il limite è praticamente immediato e si ha

$ lim_(x->0)ln(x+e^x)/(x) = 2 $

[oiraD93]

"Mephlip":Sfrutta le proprietà dei logaritmi.
I limiti notevoli da considerare sono quelli dell'esponenziale e del logaritmo!

ok, penso di avere capito
in particolare dovrei ricondurmi al seguente
$lim_(x->0)ln(1+x)/(x)$
giusto?

[Mephlip]

Sì, però in questo caso non hai semplicemente $x$ nel limite notevole ma una funzione $f(x)$ che tende a $0$ per $x\to 0$

[oiraD93]

"Mephlip":Sì, però in questo caso non hai semplicemente $x$ nel limite notevole ma una funzione $f(x)$ che tende a $0$ per $x\to 0$

perfetto grazie

[anto_zoolander]

Sarebbe anche bello considerare che

$log(x+e^x)=log((x+e^x-1)+1) approx x+e^x-1=2x+o(x)$