Calcolo limite in base alla definizione

[gnal]

Qualcuno mi aiuta a calcolare, in base alla definizione di limite, il limite seguente?:
$lim x->6$
$2*x-sqrt(x-2)=10$

[gugo82]

Come hai pensato di fare?

Poi, occhio, il limite si "verifica" con la definizione, ma non si "calcola".

[mod="gugo82"]Visto che è periodo di esami, chiedo agli utenti di non rispondere finché non sia arrivata una risposta "circostanziata" alla mia richiesta.
Si sono già presentati casi di persone che chiedevano aiuto durante esami scritti (cfr. qui), perciò chiediamo prudenza per difendere la rispettabilità e la credibilità del forum.
Grazie.[/mod]

[gnal]

Prima di tutto ho calcolato questa disequazione $|2*x-sqrt(x-2)-10|<0$ ed ottengo come risultato $2<=x<6$.
Poi in base alla definizione di limite ho cercato di calcolare la seguente $|2*x-sqrt(x-2)-10|<\epsilon$ cioe':
$\-epsilon<2*x-sqrt(x-2)-10<\epsilon$ ovvero $\-epsilon+10-2*x<-sqrt(x-2)<\epsilon+10-2*x$ , risolvo la parte destra della diseguaglianza $-sqrt(x-2)<\epsilon+10-2*x$,
$(sqrt(x-2))^2>(2*x-10-\epsilon)^2$ essendo $2*x > 0$ per x che tende a 6
$x-2>2*x^2+100+\epsilon^2-20*x+20*\epsilon+4*x*\epsilon$
Da questo punto in poi mi perdo, a meno che non elimini il termine in $\epsilon^2$ che e' un numero prossimo allo zero. E vado a trovare soluzioni approssimate.
Invece dovrei trovare un intorno completo del punto 6.

[gnal]

Ops un piccolo errore::
$x-2>4*x^2+100+\epsilon^2-40*x-4*x*\epsilon+20*\epsilon

[misanino]

Facciamo così:
scrivi qui la definizione di limite che conosci

[gnal]

Si dice che l e' il limite della funzione f(x) per x che tende a x0 quando per ogni $\epsilon >0$ esiste un $\delta$ tale che $AA$x $in$ $(x-\delta;x+\delta)$ si ha
$|f(x)-l|<\epsilon$

[misanino]

"gnal":Si dice che l e' il limite della funzione f(x) per x che tende a x0 quando per ogni $\epsilon >0$ esiste un $\delta$ tale che $AA$x $in$ $(x-\delta;x+\delta)$ si ha
$|f(x)-l|<\epsilon$

Bene.
Ma allora tu dove hai usato questo $\delta$ nel tuo calcolo del limite attraverso la definizione?

[Paolo902]

Piccola correzione: $l$ e' il limite della funzione $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se per ogni $\epsilon >0$ esiste un $\delta$ tale che $AAx in (x_0-\delta;x_0+\delta)$, escluso al più il punto $x_0$, si ha $|f(x)-l|<\epsilon$.

Faccio notare che tu prima avevi scritto $(x-delta, x+ delta)$.

[Seneca1]

Aggiungo ancora una cosa che tu non hai scritto - tanto per essere precisi. $x_0$ deve essere un punto di accumulazione per il dominio della funzione.

[Paolo902]

"Seneca":Aggiungo ancora una cosa che tu non hai scritto - tanto per essere precisi. $x_0$ deve essere un punto di accumulazione per il dominio della funzione.

Ovviamente; ti ringrazio, come al solito.

[gnal]

Il $\delta$ e' in generale dipendente dall' $\epsilon$ prefissato. In particolare dovrei riuscire, per verificare l'esattezza del limite
proposto, a trovare un intorno del punto 6 (dipendente da $\epsilon$). L'intorno in questione dovrebbe avere una forma del genere
($6- g(\epsilon)$,$6+g(\epsilon))

Per esempio:
Verificare che $\lim_(x->2) sqrt(2*x-3)=1$
La funzione e' definita per x>=$3/2$. Fissato $\epsilon > 0$.

Risolviamo $|sqrt(2*x-3)-1|<\epsilon$, questo implica che $1-\epsilon < sqrt(2*x-3) < 1+\epsilon$

abbiamo che $1-\epsilon>0$, quindi $(1-\epsilon)^2 < 2*x-3< (1+\epsilon)^2$, dopo alcuni calcoli ottengo

$((1-\epsilon)^2+3)/2 Si riconosce che la soluzione e' un intorno di 2 e quindi il limite e' verificato. L'intorno del punto 2 dipende da $\epsilon$