Calcolo limite di sen(x)sen(1/x) per x -->0

[Gianni Trattore]

Buonasera, il titolo del posto non e' totalmente appropriato perche' e' solo collegato all'esercizio descritto.
Il mio problema sta solo nel capire un passaggio nell'esercizio svolto ad un esercitazione di analisi 1 che ha la suddetta consegna.
Nel corso dello svolgimento vengono posti
$abs(senx)<=1$ , $abs(sen1/x)<=1$ , e $abs(senx)>=0$
di conseguenza so che $0<=abs(senxsen1/x)$ ,
ma viene aggiunto anche $0<=abs(senxsen1/x)<=senx$.
non capisco perche' venga aggiunta questa ultima condizione.

[cooper1]

a me quest'ultima condizione non sembra vera. Anche perchè altrimenti vorrebbe dire che $sinx \ge 0$
la maggiorazione corretta dovrebbe essere
\[
|\sin(x)\sin(\frac{1}{x})| \le |\sin(x)|
\]

[Gianni Trattore]

Si hai ragione, ho controllato e viene messo il modulo. Quindi il motivo per il quale viene usato sarebbe solo che e' ovvio che il prodotto di due numeri compresi tra 0 e 1 sia minore o uguale di un'altro numero anch'esso compreso tra 0 e 1?

[cooper1]

non proprio. stiamo sfruttando le tre relazioni che hai scritto all'inizio. In pratica puoi vedere la cosa come:
\[
|\sin(x)\sin(\frac{1}{x})| = |\sin(x)||\sin(\frac{1}{x})| \le |\sin(x)| \cdot 1 = |\sin(x)|
\]
dove abbiamo usato il fatto che $|sin(1/x)| \le 1$.

[pilloeffe]

Ciao Gianni Trattore,

Non capisco molto tutte queste complicazioni...
Semplicemente si ha

$ \lim_{x \to 0} sin(x)\cdot sin(\frac{1}{x}) = 0 $

perché si tratta del limite del prodotto di una funzione limitata, dato che $|sin(1/x)| <= 1 $, per una funzione come $sin(x) $ per la quale si ha $ \lim_{x \to 0} sin(x) = 0 $

[21zuclo]

Giustissima la risposta dell'utente pilloeffe.

Io ti suggerisco un altro procedimento.

Si ha $ lim_(x\to 0) sin(x)sin(1/x) $

possiamo fare, o meglio porre $ 1/x=t, t\to +\infty $
ovviamente $ x=1/t $

quindi sostituiamo $ lim_(t\to +\infty) sin(1/t) sin(t) $

ora se noti $ |sin(t)|\leq 1 $

quindi $ |sin(1/t)sin(t)|\leq sin(1/t) $

siccome $t\to +\infty$ si ha $sin(0)=0$

si conclude che il limite è zero.

[Bokonon]

Prima in vaporetto mi è venuto in mente un quesito intrigante...hehehe.
Il limite notevole è $lim_(f(x)->0) sin[f(x)]/(f(x))=1$

Quindi $lim_(x->0) sin(x)sin(1/x)=lim_(x->0) (sin(x)sin(1/x))/(x/x)=lim_(x->0) (sin(x)/x)(sin(1/x)/(1/x))=1*1=1$




P.s. corretto errore. Grazie Gabriella

[pilloeffe]

Dai Bokonon, non fare il furbo...
Devo ammettere però che la trappola è ben congegnata!
Vediamo se l'OP trova l'inghippo: si impara anche così...

[dissonance]

Buon esempio Bokonon, belli questi esercizi di "trova l'errore", mi sembrano molto istruttivi.

[mat.pasc]

Scusate se mi intrometto, però mi ha incuriosito dato che sto studiando analisi 1.

@Bokonon (sul quesito)

Mi pare l'errore sia da trovarsi nel fatto cheil liite notevole è riferito alla forma $[0/0]$, mentre $1/x->oo, x->0$? Sarebbe giusto?

Metto sotto spoiler così non rompo le scatole all'utente

[Gianni Trattore]

"Bokonon":Prima in vaporetto mi è venuto in mente un quesito intrigante...hehehe.
Il limite notevole è $lim_(x->0) sin[f(x)]/(f(x))=1$

Quindi $lim_(x->0) sin(x)sin(1/x)=lim_(x->0) (sin(x)sin(1/x))/(x/x)=lim_(x->0) (sin(x)/x)(sin(1/x)/(1/x))=1*1=1$

Potrebbe centrare con la composizione dei limiti? Tipo che visto che per $x->0$ il limite di $1/x$ e' $+oo$ il devo considerare il limite per $x->oo$ e quindi non posso usare il limite notevole?

[21zuclo]

"Bokonon":Prima in vaporetto mi è venuto in mente un quesito intrigante...hehehe.
Il limite notevole è $lim_(x->0) sin[f(x)]/(f(x))=1$

Quindi $lim_(x->0) sin(x)sin(1/x)=lim_(x->0) (sin(x)sin(1/x))/(x/x)=lim_(x->0) (sin(x)/x)(sin(1/x)/(1/x))=1*1=1$

$x\to 0$ e si è diviso per $x/x$ quindi si è diviso per 0, non si può dividere per 0

[Mephlip]

@21zuclo

"21zuclo":$x\to 0$ e si è diviso per $x/x$ quindi si è diviso per 0, non si può dividere per 0

Non è quello il problema, può dividere per $x$ perché la definizione di limite per $x\to0$ vuole l'intersezione tra l'insieme di definizione della funzione di cui si vuole calcolare il limite e $(-\delta,\delta)\setminus\{0\}$.
In sostanza la definizione di limite "se ne frega" di quello che succede nel punto di accumulazione, la funzione può anche non essere definita in tale punto.

Anche perché, se fosse come dici tu, neanche il limite di partenza sarebbe definito perché già compare $\frac{1}{x}$ come argomento di uno dei seni.
Il problema l'ha individuato mat.pasc.

[Bokonon]

@mat.pasc

Ok, la risposta ci sta ma non è particolarmente "significativa".
E' evidente che $sin(1/x)/(1/x)=xsin(1/x)$ e pertanto, applicando il limite, va a zero per la medesima considerazione fatta da Pilloeffe.
Il punto è perchè non abbia nemmeno senso applicare il limite notevole.
Presa la funzione $sin(x)$, il suo sviluppo in una serie di McLaurin troncato al primo termine ci dice che nell'intorno di $x=0$ abbiamo che $sin(x)~x rArr sin(x)/x~1$

Ma se consideriamo la funzione $sin(1/x)$, possiamo allegramente affermare che $sin(1/x)/(1/x)~1$?
Cosa c'è che non va?

[Bokonon]

"pilloeffe":
Devo ammettere però che la trappola è ben congegnata!

"dissonance":questi esercizi di "trova l'errore", mi sembrano molto istruttivi.

Vero. Spesso mi fanno comprendere di non aver compreso un argomento.

[mat.pasc]

@Bokonon:

Ok, forse mi sono spiegato male,ci riprovo.
Il limite notevole è dimostrato quando numeratore e denominatore tendono entrambi a zero, il denominatore tende a infinito per x->0 essendo $1/x$, quindi non posso proprio applicarlo!

Perché questo? Beh perché la dimostrazione del limite notevole sfrutta proprio quell'ipotesi nel seguente pasaggio: $1>=(sint)/t>=cost$ nel nostro caso $t=1/x$ ed è evidente che i due carabinieri non sarebbe sfruttabile.

Il fatto ora è che con il limite notevole lo so giustificare, ma non mi viene in mente perché non posso applicare taylorcosì sudue piedi, non mi viene in mente quale ipotesi venga meno ; probablmente direi che in realtà non è centrata in un $x_0$ finito. Il centro dellaserie sarebbe ad "infinito"?

[Bokonon]

@mat.pasc

Ok, ma il punto che volevo evidenziare non era la parte analitica sull'uso dei limiti in generale. Come ha scritto Mephlip in risposta a 21zuclo, il limite si può fare anche in un intorno centrato su un punto in cui la funzione è indefinita.
E' quel "particolare" limite che ci interessa e il suo significato in termini di serie di Taylor.
Quel limite notevole è applicabile se e solo la funzione $f(x)=sin(1/x)$ (quindi non parlo del rapporto) è esprimibile in termini di una serie convergente di McLaurin.

"mat.pasc":
Il fatto ora è che con il limite notevole lo so giustificare, ma non mi viene in mente perché non posso applicare taylorcosì sudue piedi, non mi viene in mente quale ipotesi venga meno

$f(x)=sin(1/x)$ è definita in $RR - {0}$. E' una semplice questione di dominio.
Possiamo applicare Taylor ovunque eccetto che nell'intervallo aperto attorno a $x=0$ perchè la funzione non è definita in quell'intervallo...sic et simpliciter.
Ergo, l'applicazione del limite notevole non è solo scorretta ma priva di senso.

[mat.pasc]

@Bokonon:

complimenti ottima risposta. Non ci avevo proprio pensato ed era lì sotto al naso! Per fortuna ho letto la discussione è stata molto interessante.

Comunque volevo dire che nella mia spiegazione non usavo il fatto che la funzione non fosse definita nel punto di accumulazione $x_0$, di quello poco di interessa come diceva mephlip. Il punto della mia giustificazione era proprio nella dimostrazione del limite notevole che avendo $cos(1/x)$ (che non tende a 1 come invece fa quello che la minora!) a maggiorarla impediva l'applicazione dei due carabinieri, quindi veniva meno tutto il senso dell'applicarlo.

[Gianni Trattore]

Non ho capito granché ma mi fa piacere che sia nata una discussione interessante, mi sa che torno tra un mesetto e vedo se per allora non ci leggo più arabo

[dissonance]

in ogni caso complimenti per l'avatar

[gabriella127]

Non è che ho capito moltissimo la discussione, a proposito del 'limite notevole' proposto da Bokonon.
Forse dico quello che voleva dire mat. pasc., ma il punto è semplice: quel limite notevole, $ lim_(x -> 0) sin(f(x))/f(x)=1 $ non esiste proprio, se lo è inventato Bokonon per fare una trappola.

Il limite notevole 'vero' è $ lim_(f(x) -> 0) sin(f(x))/f(x) =1$, cioè $f(x)$ deve essere infinitesima, solo in quel caso sarebbe vero il limite proposto da Bokonon.

(In effetti è come aveva detto Gianni Trattore, c'entra la composizione dei limiti).