Calcolo limite con il teorema del confronto

[gundamrx91-votailprof]

Calcolare $lim_{x to +infty}x(a+sin(x))$ per $a in RR$.

Sappiamo che $-1<=sin(x)<=1$ $AAx in RR$ allora si ha che $-1<=a+sin(x)<=1$
e $a-1<=a+sin(x)<=a+1$ $AAx in RR$.

Quindi abbiamo $x(a-1+sin(x))<=x(a+sin(x))<=x(a+1+sin(x))$ $AAx in (0,+infty)$

Posto $f_1(x)=x(a-1+sin(x))$ e $f_2(x)=x(a+1+sin(x))$ allora
$AAU(+infty), x in U => f_1(x)<=f(x)<=f_2(x)$

Inoltre $lim_{x to +infty}x=+infty => x=lim_{x to +infty}f_1 (x)=lim_{x to +infty}f_2 (x)=+infty$

da cui $lim_{x to +infty} f(x)=limlim_{x to +infty} f_1(x)=lim_{x to +infty} f_2(x)=+infty$

E' corretto?

[ciampax]

"GundamRX91":Calcolare $lim_{x to +infty}x(a+sin(x))$ per $a in RR$.

Sappiamo che $-1<=sin(x)<=1$ $AAx in RR$ allora si ha che $-1<=a+sin(x)<=1$
e $a-1<=a+sin(x)<=a+1$ $AAx in RR$.

Ma come le usi le disequazioni? Non appaiono un po' troppi valori? Da $-1\le\sin x\le 1$ si ha $a-1\le a+\sin x\le a+1$ e quindi, essendo pure $x>0$ perché $x\to+\infty$

$x(a-1)\le x(a+\sin x)\le x(a+1)$

Ma a qeusto punto cosa concludi? Se $a>1$ allora puoi dire che gli estremi hanno entrambi limite $+\infty$, e quindi che anche la funzione ha limite $+\infty$. Analogamente se $a< -1$ puoi concludere che entrambi gli estremi hanno limite $-\infty$ e quindi è tale il valore del limite della funzione. Ma cosa accade se $-1\le a\le 1$?

[gundamrx91-votailprof]

Allora credo di aver capito male il teorema.
Perché la $f_1(x)=x(a-1)$ e non $f_1(x)=x(a-1+sin(x))$ ? Stessa domanda per la $f_2$?

[ciampax]

Perché tu hai

$-1\le\sin x\le 1$ a cui sommi $a$ in tutti e tre gli argomenti e quindi $a-1\le a+\sin x\le a+1$.

Non è una questione di capire il teorema: è una questione di saper usare le disuguaglianze.

[gundamrx91-votailprof]

Se il limite fosse stato sulla funzione $2+sin(x)$ allora avrei $1<=2+sin(x)<=3$ ??