Calcolo limite con formula di Taylor
Salve,il limite è il seguente: $rarr$ $lim_{x\rightarrow 0} (log(1+sqrtx)+log(1-sensqrtx))/(x+sensqrtx)$
Ho fatto gli sviluppi di Taylor per $log(1+t)$ e $sen(t)$; posto $t=sqrtx$ mi sono calcolato gli sviluppi di Taylor di $log(1+sqrtx)$,$sensqrtx$ e $log(1-sensqrtx)$.Mi è sorto un dubbio che il libro non mi ha chiarito nel sostituire $sqrtx$ in $o(t^n)$.
In ogni caso questo è quanto mi risulta in conclusione:
$lim_{x\rightarrow 0} (-6x+x^2+2xsqrtx-12x^3+o(x^3))/(6x+6sqrtx-xsqrtx+o(x^2))
delucidazioni su qualche sviluppo errato o consigli?
Grazie a tutti
Ho fatto gli sviluppi di Taylor per $log(1+t)$ e $sen(t)$; posto $t=sqrtx$ mi sono calcolato gli sviluppi di Taylor di $log(1+sqrtx)$,$sensqrtx$ e $log(1-sensqrtx)$.Mi è sorto un dubbio che il libro non mi ha chiarito nel sostituire $sqrtx$ in $o(t^n)$.
In ogni caso questo è quanto mi risulta in conclusione:
$lim_{x\rightarrow 0} (-6x+x^2+2xsqrtx-12x^3+o(x^3))/(6x+6sqrtx-xsqrtx+o(x^2))
delucidazioni su qualche sviluppo errato o consigli?
Grazie a tutti
Risposte
Io di solito prima di applicare direttamente gli sviluppi in serie di Taylor tendo a fare qualche osservazione riguardo i confronti asintotici, ad esempio puoi notare che: $lim_(x->0)sin(sqrt(x)) \sim sqrt(x) $, in questo modo forse quando applichi lo sviluppo in serie tutto dovrebbe risultare più facile.
"Lorin":
Io di solito prima di applicare direttamente gli sviluppi in serie di Taylor tendo a fare qualche osservazione riguardo i confronti asintotici, ad esempio puoi notare che: $lim_(x->0)sin(sqrt(x)) \sim sqrt(x) $, in questo modo forse quando applichi lo sviluppo in serie tutto dovrebbe risultare più facile.
Premettendo che nel corso non abbiamo mai utilizzato il confronto asintotico ho notato che più volte snellisce di parecchio i calcoli dei limite e risulta molto utile.Saresti così gentile da chiarirmi quando è possibile utilizzare tale approssimazione?Ad esempio nel nostro caso è la conoscenza dei grafici di [tex]f(x)=sen(x)[/tex] e [tex]f(x)=x[/tex] che ci permette di dire che in un intorno di zero è lecita tale approssimazione?o c'è un metodo che ignoro?
Grazie
Si il confronto asintotico è uno strumento utilissimo che ti permette di alleggerire i calcoli di un limite complesso e lungo, mi pare strano che non lo abbiate studiato, anche perchè siete arrivati alla formula di Taylor, di solito si studia prima (e poi è anche utile nello studio di alcuni tipi di serie numeriche, dove si studia proprio il criterio del confronto asintotico). Comunque per quanto riguarda l'applicazione di tale metodo, teoricamente si utilizza lo sviluppo in serie di Taylor ma fermandosi al primo ordine, infatti se noti, per quanto riguarda il seno:
$sinx = x+o(x)$, ma ciò equivale a dire che approssimativamente $sinx \sim x$, cioè le due funzioni nell'intorno di $0$ coincidono a meno di un piccolo errore che è dato dal resto dello sviluppo in serie. Puoi fare questo ragionamento per tutte le funzioni sviluppabili in serie, e puoi osservare che in questo modo ottieni anche tutte le forme note di alcuni limiti (limiti notevoli, per capirci), infatti:
$lim_(x->0)sinx/x=1 , lim_(x->0)(tgx)/x=1 , lim_(x->0)log(1+x)/x=1$
poi ovviamente puoi generalizzare questi risultati, a tutte le funzioni che hanno un certo comportamento (sostanzialmente sono le applicazioni dei limiti notevoli), ad esempio:
$f(x)->0 => sinf(x) \sim f(x)$ da cui ricavi la mia osservazione fatta nel post precedente $sinsqrt(x) \sim sqrt(x)$
Tutto questi strumenti vanno usati comunque con cautela, e non è detto che servano sempre in tutte le situazioni.
$sinx = x+o(x)$, ma ciò equivale a dire che approssimativamente $sinx \sim x$, cioè le due funzioni nell'intorno di $0$ coincidono a meno di un piccolo errore che è dato dal resto dello sviluppo in serie. Puoi fare questo ragionamento per tutte le funzioni sviluppabili in serie, e puoi osservare che in questo modo ottieni anche tutte le forme note di alcuni limiti (limiti notevoli, per capirci), infatti:
$lim_(x->0)sinx/x=1 , lim_(x->0)(tgx)/x=1 , lim_(x->0)log(1+x)/x=1$
poi ovviamente puoi generalizzare questi risultati, a tutte le funzioni che hanno un certo comportamento (sostanzialmente sono le applicazioni dei limiti notevoli), ad esempio:
$f(x)->0 => sinf(x) \sim f(x)$ da cui ricavi la mia osservazione fatta nel post precedente $sinsqrt(x) \sim sqrt(x)$
Tutto questi strumenti vanno usati comunque con cautela, e non è detto che servano sempre in tutte le situazioni.
Grazie,inizio già a vederci più chiaro. 
Ho provato a risolvere il limite con l'approssimazione che mi hai suggerito ma in questo modo si annulla il numeratore..
(ho considerato [tex]log(1-\sin\sqrt{x}) \sim log(1-\sqrt{x})[/tex] ,è lecita tale considerazione?)
Ho provato a risolvere il limite con l'approssimazione che mi hai suggerito ma in questo modo si annulla il numeratore..(ho considerato [tex]log(1-\sin\sqrt{x}) \sim log(1-\sqrt{x})[/tex] ,è lecita tale considerazione?)
Si è lecita la tua considerazione, ma come ti ho detto prima l'applicazione del confronto asintotico non è sempre utile perchè in alcuni casi, come questo, farne un "abuso" ti porta all'annullarsi di tutti i termini e quindi ti porta spesso a forme indeterminate del tipo $0/0$. Allora conviene applicarlo solo in parte, ad esempio qui lo puoi applicare per alleggerire il denominatore, passando da $x+sinsqrt(x) \sim x+sqrt(x)$. Se vuoi applicarlo al numeratore fallo pure ma magari una volta che lo hai fatto prova ad unire i due logaritmi, sfruttando la proprietà: $loga+logb = log(ab)$; credo che così si dovrebbe semplificare la situazione.
si,avevo pensato alla proprietà dei logaritmi, ho considerato la differenza di quadrati: [tex]log[(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})] \rightarrow log(1-x)[/tex], e applicando Taylor solo al numeratore ottengo in conclusione:
[tex]lim_{x\rightarrow0} \frac{-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x+\sqrt{x}}[/tex]..
[tex]lim_{x\rightarrow0} \frac{-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x+\sqrt{x}}[/tex]..
"kondor":
Grazie,inizio già a vederci più chiaro.
(ho considerato [tex]log(1-\sin\sqrt{x}) \sim log(1-\sqrt{x})[/tex] ,è lecita tale considerazione?)
Veramente a me non sembra totalmente giustificato questo passaggio (risultato a parte). A numeratore c'è una differenza di infinitesimi equivalenti...
"Seneca":
[quote="kondor"]Grazie,inizio già a vederci più chiaro.
(ho considerato [tex]log(1-\sin\sqrt{x}) \sim log(1-\sqrt{x})[/tex] ,è lecita tale considerazione?)
Veramente a me non sembra totalmente giustificato questo passaggio (risultato a parte). A numeratore c'è una differenza di infinitesimi equivalenti...[/quote]
Si sono d'accordo con te sugli infinitesimi equivalenti,e questo comporta che l'approssimazione [tex]log(1-\sin\sqrt{x}) \sim log(1-\sqrt{x})[/tex] sia sbagliata?o intendi dire che non ha senso perchè non ci porta alcun vantaggio?
Secondo me non si può fare.
Sono d'accordo con Seneca. Il risultato sarà sicuramente giusto, eh. Però è da giustificare. Non è come dire
$1-sin(sqrt(x)) sim 1-sqrt{x}$ per $x \to 0$,
c'è quel logaritmo che, a priori, potrebbe sballare tutto. Non lo fa, sono sicuro di no, ma lo bisogna dimostrare.
$1-sin(sqrt(x)) sim 1-sqrt{x}$ per $x \to 0$,
c'è quel logaritmo che, a priori, potrebbe sballare tutto. Non lo fa, sono sicuro di no, ma lo bisogna dimostrare.
"dissonance":
Sono d'accordo con Seneca. Il risultato sarà sicuramente giusto, eh. Però è da giustificare. Non è come dire
$1-sin(sqrt(x)) sim 1-sqrt{x}$ per $x \to 0$,
c'è quel logaritmo che, a priori, potrebbe sballare tutto. Non lo fa, sono sicuro di no, ma lo bisogna dimostrare.
Grazie per gli interventi,Mmm..sono un pò confuso riguardo i confronti asintotici.Correggetemi se sbaglio,in linea di massima basta osservare ad esempio che [tex]lim_{x\rightarrow0} \frac{sinx}{x}=1[/tex] per stabilire che "sen(x) tende a zero come x" ed approssimarlo a quest'ultima;ma mi sembra di capire che se per ricondurci a un limite notevole ricorriamo ad ulteriori approssimazioni(nella fattispecie [tex]\sin\sqrt{x} \sim\sqrt{x}[/tex])la conclusione non è così scontata,dico bene?Tornando al limite il vostro suggerimento in termini di "approccio" quale sarebbe?
"kondor":
ma mi sembra di capire che se per ricondurci a un limite notevole ricorriamo ad ulteriori approssimazioni(nella fattispecie [tex]\sin\sqrt{x} \sim\sqrt{x}[/tex] la conclusione non è così scontata,dico bene?
L'approssimazione va benissimo (si ottiene dal limite notevole che hai scritto con un semplice cambio di variabile). Il problema è che a numeratore hai una differenza di infinitesimi equivalenti e questo ti rompe le uova nel paniere.
"kondor":
Tornando al limite il vostro suggerimento in termini di "approccio" quale sarebbe?
Per prima cosa farei un cambio di variabile: [tex]$\sqrt{x} = t[/tex].
Poi, a tua scelta, serviti o del teorema di De L'Hospital o degli sviluppi di Taylor (con gli o-piccolo che, se usati accuratamente, evitano orrori quando si fanno determinate approssimazioni).
"Seneca":
Poi, a tua scelta, serviti o del teorema di De L'Hospital o degli sviluppi di Taylor (con gli o-piccolo che, se usati accuratamente, evitano orrori quando si fanno determinate approssimazioni).
Onde evitare i suddetti errori
,quando sostituisco [tex]\sqrt{x}[/tex] in [tex]o(t^n)[/tex] resta [tex]o(x^n)[/tex] o subisce variazioni?le regole per le operazioni con o-piccolo sul libro di testo non mi hanno chiarito il dubbio..
Cambia.
Ma se vuoi evitare questi problemi, cambia variabile prima di applicare Taylor.
Ma se vuoi evitare questi problemi, cambia variabile prima di applicare Taylor.
"Seneca":
Cambia.
Ma se vuoi evitare questi problemi, cambia variabile prima di applicare Taylor.
Non ho capito che intendi,il cambiamento di variabile non lo facciamo anche per facilitarci lo sviluppo di Taylor?Ad esempio [tex]log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)[/tex] operando la sostituzione[tex]\sqrt{x}=t[/tex] diverrebbe [tex]log(1+\sqrt{x})=\sqrt{x}-\frac{x}{2}+\frac{x\sqrt{x}}{3}+...[/tex] o-piccolo di x elevato a quanto?
Qualcuno ha qualche suggerimento?ho provato a calcolarmi il limite con De L'Hopital:
[tex]lim_{x\rightarrow0}\frac{log(1+t)}{t^2+sin(t)}+\frac{log(1-sin(t)}{t^2+sin(t)} \rightarrow lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{1+t}}{2t+cos(t)}+\frac{\frac{-cos(t)}{1-sin(t)}}{2t+cos(t)}[/tex]
Ma il primo mi risulta $1$ e il secondo $-1$..
.Qualcuno sà come migliorare il layout dei limiti?(mi rendo conto che è venuto molto piccolo ma non ho saputo renderlo migliore)
[tex]lim_{x\rightarrow0}\frac{log(1+t)}{t^2+sin(t)}+\frac{log(1-sin(t)}{t^2+sin(t)} \rightarrow lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{1+t}}{2t+cos(t)}+\frac{\frac{-cos(t)}{1-sin(t)}}{2t+cos(t)}[/tex]
Ma il primo mi risulta $1$ e il secondo $-1$..
.Qualcuno sà come migliorare il layout dei limiti?(mi rendo conto che è venuto molto piccolo ma non ho saputo renderlo migliore)
Ragazzi può darsi che il risultato sia 0?(in tutti i modi che ho provato così mi risulta),il fatto è che sono scettico perchè di solito il risultato di questi limiti è un valore finito e diverso da zero.. 
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t) + \log(1- \sin(t))}{t^2 + \sin(t)}$[/tex]
Per prima cosa ci sia accorge che a denominatore si può trascurare l'infinitesimo di ordine superiore, cioè [tex]$t^2$[/tex]. Poiché [tex]$\sin(t) \sim t$[/tex] per [tex]$t \to 0$[/tex], il limite si riscrive come segue:
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t) + \log(1- \sin(t))}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t) + \log(1- \sin(t))}{t}$[/tex]
A questo punto non serve neanche applicare De L'Hospital...
Per prima cosa ci sia accorge che a denominatore si può trascurare l'infinitesimo di ordine superiore, cioè [tex]$t^2$[/tex]. Poiché [tex]$\sin(t) \sim t$[/tex] per [tex]$t \to 0$[/tex], il limite si riscrive come segue:
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t) + \log(1- \sin(t))}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t) + \log(1- \sin(t))}{t}$[/tex]
A questo punto non serve neanche applicare De L'Hospital...
"kondor":
Ragazzi può darsi che il risultato sia 0?(in tutti i modi che ho provato così mi risulta),il fatto è che sono scettico perchè di solito il risultato di questi limiti è un valore finito e diverso da zero..
Quindi... Certo che può essere [tex]$0$[/tex]. Il fatto che sia [tex]$0$[/tex] ti permette anche di scoprire che la differenza di infinitesimi equivalenti che c'è al numeratore è di ordine superiore rispetto all'ordine di ciascuno dei due infinitesimi (cosa che succede spesso).
"Seneca":
[quote="kondor"]Ragazzi può darsi che il risultato sia 0?(in tutti i modi che ho provato così mi risulta),il fatto è che sono scettico perchè di solito il risultato di questi limiti è un valore finito e diverso da zero..
Quindi... Certo che può essere [tex]$0$[/tex]. Il fatto che sia [tex]$0$[/tex] ti permette anche di scoprire che la differenza di infinitesimi equivalenti che c'è al numeratore è di ordine superiore rispetto all'ordine di ciascuno dei due infinitesimi (cosa che succede spesso).[/quote]
Credo di aver capito,quindi zero come risultato era corretto?
Grazie mille.
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