Calcolo limite
E' possibile risolvere il limite seguente $(logx)^(1/(x-e))$, con il solo ausilio dei limiti notevoli, per x che tende ad e?
Saluti!
Saluti!
Risposte
Direi di sì: prova a porre $x-e=t$, in modo che $t\to e$ e riscrivi la funzione come ${\log(t+e)}/{t}$
"francicko":
E' possibile risolvere il limite seguente $ (logx)^(1/(x-e)) $, con il solo ausilio dei limiti notevoli, per x che tende ad e?
Saluti!
posto $t=lnx$,si ha $ lim_(t-> 1) t^(1/(e^t-e))=lim_(t -> 1)e^(1/(e^t-e)lnt $
a questo punto, per calcolare il limite dell'esponente si effettua un'ulteriore sostituzione :$z=t-1$
quindi si ha $ lim_(z -> 0) (ln(1+z))/(e^(z+1)-e)=lim_(z -> 0) (ln(1+z))/(e(e^z-1))=1/e $
x@ Ciampax. Grazie per il suggerimento!
x@ stormy. Grazie,bella soluzione!
Io l'ho risolto cosi:
pongo $t=logx$ , il limite diventa $lim_(t->1)t^(1/(e^t-e))$, a questo punto essendo $(1+t-1)=t$ riscrivo $lim_(t->1)(1+t-1)^(1/(e^t-e))=$ $lim_(t->1)(1+t-1)^((1/(t-1))((t-1)/(e^t-e))=$ ed osservando che $lim_(t->1)(1+(t-1))^(1/(t-1))=e$ ho ancora:
$lim_(t->1)e^((t-1)/(e^t-1)=$ $lim_(t->1)e^((t-1)/(e(e^(t-1)-1))$, ed avendosi come limite notevole $lim_(t->1)(t-1)/(e^(t-1)-1)=1$, sostituendo si ha $lim_(t->1)t^(1/(e^t-e))=e^((1/e)xx1)=e^(1/e)$, che è il risultato del limite cercato.
Potete controllare se i passaggi che ho fatto sono corretti?
Grazie!
x@ stormy. Grazie,bella soluzione!
Io l'ho risolto cosi:
pongo $t=logx$ , il limite diventa $lim_(t->1)t^(1/(e^t-e))$, a questo punto essendo $(1+t-1)=t$ riscrivo $lim_(t->1)(1+t-1)^(1/(e^t-e))=$ $lim_(t->1)(1+t-1)^((1/(t-1))((t-1)/(e^t-e))=$ ed osservando che $lim_(t->1)(1+(t-1))^(1/(t-1))=e$ ho ancora:
$lim_(t->1)e^((t-1)/(e^t-1)=$ $lim_(t->1)e^((t-1)/(e(e^(t-1)-1))$, ed avendosi come limite notevole $lim_(t->1)(t-1)/(e^(t-1)-1)=1$, sostituendo si ha $lim_(t->1)t^(1/(e^t-e))=e^((1/e)xx1)=e^(1/e)$, che è il risultato del limite cercato.
Potete controllare se i passaggi che ho fatto sono corretti?
Grazie!
Formalmente la tua soluzione è sbagliata: l'errore sta nel fatto che passi al limite un pezzo alla volta e questo non è consentito, mi riferisco al passaggio in cui osservi che la base di una certa potenza ha come limite $e$ e ci metti direttamente $e$ tenendo un limite in sospeso... questo non è corretto, nonostante alla fine si arrivi ad un risultato giusto.
Grazie per la risposta!
Si giusto, mi sono reso conto dell'errore, non posso eseguire il calcolo di un limite per pezzi, ma devo calcolarlo per intero,
se riscrivo il tutto nel modo seguente:
pongo $t=logx$, avrò $lim_(t->1)t^(1/(e^(t-e)))$ $=lim_(t->1)(1+t-1)^((1/(t-1))((t-1)/(e^t-e))$ $=lim_(t->1)(1+(t-1))^((1/(t-1))(1/e)((t-1)/(e^(t-1)-1))$ e passando al limite, e calcolando avremo:$lim_(t->1)t^(1/(e^(t-e))$ $=e^((1/e)xx(1)$, può andar bene così formalmente? o in fondo non cambia nulla,e mi sbaglio ancora?
Resto in attesa di una risposta;
Grazie!
Saluti!
Si giusto, mi sono reso conto dell'errore, non posso eseguire il calcolo di un limite per pezzi, ma devo calcolarlo per intero,
se riscrivo il tutto nel modo seguente:
pongo $t=logx$, avrò $lim_(t->1)t^(1/(e^(t-e)))$ $=lim_(t->1)(1+t-1)^((1/(t-1))((t-1)/(e^t-e))$ $=lim_(t->1)(1+(t-1))^((1/(t-1))(1/e)((t-1)/(e^(t-1)-1))$ e passando al limite, e calcolando avremo:$lim_(t->1)t^(1/(e^(t-e))$ $=e^((1/e)xx(1)$, può andar bene così formalmente? o in fondo non cambia nulla,e mi sbaglio ancora?
Resto in attesa di una risposta;
Grazie!
Saluti!
va bene, forse alla fine l'ultimo fattore dell'esponente e' $\frac{t-1}{e^{t-1}-1}$.
Grazie tante!!
Ho corretto anche l'esponente dell'ultimo fattore come mi ha fatto giustamente notare.
Saluti!
Ho corretto anche l'esponente dell'ultimo fattore come mi ha fatto giustamente notare.
Saluti!
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