Calcolo integrale triplo

[gbspeedy]

devo calcolare al variare di $k>=0$ l'integrale $ int_E |z-k| dx dy dz$ con E la sfera unitaria di $R^3$

conviene usare le coordinate sferiche o cilindriche?

[ciampax]

Mmmmm, vista la forma della funzione, forse cilindriche, ma è anche vero che con le sferiche le limitazioni sono un po' più semplici.... solo che poi diventa una rottura di scatole riscrivere quel valore assoluto.

Ok, cilindriche, molto meglio. E considera che devi calcolare integrali diversi a seconda di come scegli $k$.

[gbspeedy]

quindi diventerebbe $\int_(0)^(2pi) d(theta) int_(-1)^(1) |z-k| dz int_(-sqrt(1-z^2))^((sqrt(1-z^2))) r dr$?

[ciampax]

Mmmmm, io metterei $\rho$ in funzione di $z$, altrimenti capire come usare quel valore assoluto in questa forma che hai scritto diventa un incubo.

[gbspeedy]

"gbspeedy":quindi diventerebbe $\int_(0)^(2pi) d(theta) int_(-1)^(1) |z-k| dz int_(-sqrt(1-z^2))^((sqrt(1-z^2))) r dr$?

è giusto?

[ciampax]

Sì, esatto.

[gbspeedy]

$4pi \int_(-1)^(1) |z-k| (1-z^2)dz $

la discussione la devo fare per $z=k,z>k , z

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[ciampax]

Esatto. Però tieni anche conto che $z\in[-1,1]$, per cui, se fosse ad esempio, $k=2$, avresti che, da $-1\le z\le 1$, $-3\le z-2\le -1$ per cui l'argomento del valore assoluto sarebbe sempre negativo. Quindi c'è anche una considerazione da fare su come scegliere $k$.

[gbspeedy]

se $k=z$ l'integrale è nullo,se $k<-1$ $z-k>0$ , se $k>1$ $ z-k<0$ ma se $-1

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[ciampax]

No, non $k=z$. Campa è una costante arbitraria reali, per cui devi discutere cosa accade a seconda che essa vari in $RR$. Tieni presente che, essendo $-1\le z\le 1$ allora si ha $-1-k\le z-k\le 1-k$.

[gbspeedy]

"gbspeedy":se $k<-1$ allora $z-k>0$ , se $k>1$ allora $ z-k<0$

questo va bene?

[ciampax]

Quello sì.

[gbspeedy]

se $-1

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[gbspeedy]

sempre con questa tipologia avrei E=${x^2+y^2<=1/2,0<=z<=1-x,y>0}$ con $\int_E (y|x+z-k|/(1-x^2))dxdydz$ $kin(-1,1)$
dici che conviene usare anche qui le cilindriche?

[ciampax]

"gbspeedy":se $-1

Dici? Io credo invece che dovresti scrivere l'integrale così:

$\int_{-1}^k (k-z)\ dz+\int_k^1 (z-k)\ dz=[kz-z^2/2]_{-1}^k+[z^2/2-kz]_k^1=k^2-k^2/2+k+1/2+1/2-k-k^2/2+k^2=1+2k^2$

[ciampax]

"gbspeedy":sempre con questa tipologia avrei E=${x^2+y^2<=1/2,0<=z<=1-x,y>0}$ con $\int_E (y|x+z-k|/(1-x^2))dxdydz$ $kin(-1,1)$
dici che conviene usare anche qui le cilindriche?

Mi sembra una scelta conveniente proprio per come è fatto il dominio. Bisogna vedere però cosa ne viene fuori.

EDIT: correggo: forse una trasformazione del tipo $z+x=u$ servirebbe a semplificare di molto le cose. Però non so se conviene anche trasformare $x,y$ secondo coordinate cilindriche. Prova un po' a scrivere gli integrali e vedi che viene fuori.

[gbspeedy]

"ciampax":[quote="gbspeedy"]se $-1

Dici? Io credo invece che dovresti scrivere l'integrale così:

$\int_{-1}^k (k-z)\ dz+\int_k^1 (z-k)\ dz=[kz-z^2/2]_{-1}^k+[z^2/2-kz]_k^1=k^2-k^2/2+k+1/2+1/2-k-k^2/2+k^2=1+2k^2$[/quote]

se non ho sbagliato i calcoli ottengo:
per$ k<-1: -16/3pik$
per$ k>1 :16/3pik$
per$-1

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[gbspeedy]

"ciampax":[quote="gbspeedy"]sempre con questa tipologia avrei E=${x^2+y^2<=1/2,0<=z<=1-x,y>0}$ con $\int_E (y|x+z-k|/(1-x^2))dxdydz$ $kin(-1,1)$
dici che conviene usare anche qui le cilindriche?

Mi sembra una scelta conveniente proprio per come è fatto il dominio. Bisogna vedere però cosa ne viene fuori.

EDIT: correggo: forse una trasformazione del tipo $z+x=u$ servirebbe a semplificare di molto le cose. Però non so se conviene anche trasformare $x,y$ secondo coordinate cilindriche. Prova un po' a scrivere gli integrali e vedi che viene fuori.[/quote]
=
con le cilindriche ottengo $E={(r,theta,z):0<=r<=1/sqrt(2),0 e $\int_E (rsintheta|rcostheta+z-k|)/(1-r^2(costheta)^2)r dr d theta dz$

[ciampax]

"gbspeedy":[quote="ciampax"][quote="gbspeedy"]se $-1

Dici? Io credo invece che dovresti scrivere l'integrale così:

$\int_{-1}^k (k-z)\ dz+\int_k^1 (z-k)\ dz=[kz-z^2/2]_{-1}^k+[z^2/2-kz]_k^1=k^2-k^2/2+k+1/2+1/2-k-k^2/2+k^2=1+2k^2$[/quote]

se non ho sbagliato i calcoli ottengo:
per$ k<-1: -16/3pik$
per$ k>1 :16/3pik$
per$-1
Sì, mi pare corretto.

[ciampax]

"gbspeedy":[quote="ciampax"][quote="gbspeedy"]sempre con questa tipologia avrei E=${x^2+y^2<=1/2,0<=z<=1-x,y>0}$ con $\int_E (y|x+z-k|/(1-x^2))dxdydz$ $kin(-1,1)$
dici che conviene usare anche qui le cilindriche?

Mi sembra una scelta conveniente proprio per come è fatto il dominio. Bisogna vedere però cosa ne viene fuori.

EDIT: correggo: forse una trasformazione del tipo $z+x=u$ servirebbe a semplificare di molto le cose. Però non so se conviene anche trasformare $x,y$ secondo coordinate cilindriche. Prova un po' a scrivere gli integrali e vedi che viene fuori.[/quote]
=
con le cilindriche ottengo $E={(r,theta,z):0<=r<=1/sqrt(2),0 e $\int_E (rsintheta|rcostheta+z-k|)/(1-r^2(costheta)^2)r dr d theta dz$[/quote]


Mmmmmm, no, effettivamente non viene una coasa semplificabile. Bisogna sicuramente effettuare, all'interno del cambiamento di coordinate, il seguente $x+z=u$ in modo che, almeno la parte interna al valore assoluto sia più semplice da considerare.

[gbspeedy]

"ciampax":[quote="gbspeedy"]sempre con questa tipologia avrei E=${x^2+y^2<=1/2,0<=z<=1-x,y>0}$ con $\int_E (y|x+z-k|/(1-x^2))dxdydz$ $kin(-1,1)$
dici che conviene usare anche qui le cilindriche?

Mi sembra una scelta conveniente proprio per come è fatto il dominio. Bisogna vedere però cosa ne viene fuori.

EDIT: correggo: forse una trasformazione del tipo $z+x=u$ servirebbe a semplificare di molto le cose. Però non so se conviene anche trasformare $x,y$ secondo coordinate cilindriche. Prova un po' a scrivere gli integrali e vedi che viene fuori.[/quote]

se pongo $z+x=u$ devo introdurre anche $v=z-x$?