Calcolo integrale triplo
devo calcolare al variare di $k>=0$ l'integrale $ int_E |z-k| dx dy dz$ con E la sfera unitaria di $R^3$
conviene usare le coordinate sferiche o cilindriche?
conviene usare le coordinate sferiche o cilindriche?
Risposte
E' quello che mi stavo chiedendo: prova un po' a farlo così e a lasciare $y=y$ e vedi cosa succede.
ponendo $Phi(u,v,y)=((u-v)/2,y,(u+v)/2)$ $E={(u,v,y):u^2+v^2<=1,0<=u+v<=2-u+v,y>0}$
adesso in E posso usare le coordinate cilindriche?
adesso in E posso usare le coordinate cilindriche?
Mmmmm, no, continua a venire fuori qualcosa di orrendo. Dunque vediamo, il dominio è questo
$2x^2+2y^2\le 1,\qquad x\le z+x\le 1,\qquad y>0$
Il problema che sollevavo è che la cosa migliore sarebbe riuscire a scrivere $|x+z-k|$ in una forma più semplice, magari anche $|u-k|$, ponendo $x+z=u$ e lasciandosi tale variabile come ultima cosa rispetto a cui integrare.
Il fatto è che porre poi $v=z-x$ non semplifica di molto la seconda condizione: forse la cosa migliore sarebbe sostituire semplicemente così:
$x=x,\ y=y,\ z+x=u$.
In questo modo si ha lo Jacobiano pari a $1$ e il nuovo insieme
$E?=\{(x,y,u):\ x^2+y^2\le 1/2,\ x\le u\le 1,\ y>0\}$.
L'integrale diventa
$\int_{E'} {y|u-k|}/{1-x^2}$
Il problema è che, comunque, bisogna spezzare il valore assoluto tenendo conto che $x\le u\le 1$ e che, in generale visto che abbiamo quel cerchio, $x\in[-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}]$. Prova a ragionare su questo e vedi che succede.
$2x^2+2y^2\le 1,\qquad x\le z+x\le 1,\qquad y>0$
Il problema che sollevavo è che la cosa migliore sarebbe riuscire a scrivere $|x+z-k|$ in una forma più semplice, magari anche $|u-k|$, ponendo $x+z=u$ e lasciandosi tale variabile come ultima cosa rispetto a cui integrare.
Il fatto è che porre poi $v=z-x$ non semplifica di molto la seconda condizione: forse la cosa migliore sarebbe sostituire semplicemente così:
$x=x,\ y=y,\ z+x=u$.
In questo modo si ha lo Jacobiano pari a $1$ e il nuovo insieme
$E?=\{(x,y,u):\ x^2+y^2\le 1/2,\ x\le u\le 1,\ y>0\}$.
L'integrale diventa
$\int_{E'} {y|u-k|}/{1-x^2}$
Il problema è che, comunque, bisogna spezzare il valore assoluto tenendo conto che $x\le u\le 1$ e che, in generale visto che abbiamo quel cerchio, $x\in[-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}]$. Prova a ragionare su questo e vedi che succede.
otterrei; $\int_(-1/sqrt(2))^(1/sqrt(2)) dx/(1-x^2) \int_(0)^(sqrt(1/2-x^2)) y dy \int_(x)^(1) |u-k|$ ?
$x0$
$x
Sì, mi sembra che così funzioni. Bravo.
l'integrale a destra lo devo spezzare in $\int_(x)^(k)$+$\int_(k)^(1)$?
ho provato a fare i calcoli e viene un calcolo complicato
ho provato a fare i calcoli e viene un calcolo complicato
Eh sì, come quello di prima.
ho provato a fare i calcoli ma viene complicato
Non mi aspettavo venisse semplice.... guarda, appena ho un minuto provo a farli anche io per bene, visto che fino ad ora ho solo abbozzato i conti e ti faccio sapere.
"gbspeedy":
[quote="gbspeedy"]quindi diventerebbe $\int_(0)^(2pi) d(theta) int_(-1)^(1) |z-k| dz int_(-sqrt(1-z^2))^((sqrt(1-z^2))) r dr$?
è giusto?[/quote]
quando calcolo $int_(-sqrt(1-z^2))^((sqrt(1-z^2))) r dr$ non è nullo?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo