Calcolo integrale
Ciao a tutti, ho dei problemi col seguente esercizio. Ho provato a stostituire x-2z=u y-x=v x+z=w ed ho ricavato x, y, z.
Poi però non so come procedere in quanto all'interno dell'integrale c'é z e non é quindi un semplice volume.
D={(x,y,z):(x−2z)2+(y−x)2+(x+z)2≤4,0≤x+y+z≤1}
Calcola ∫D zdxdydz
Grazie a tutti!
Poi però non so come procedere in quanto all'interno dell'integrale c'é z e non é quindi un semplice volume.
D={(x,y,z):(x−2z)2+(y−x)2+(x+z)2≤4,0≤x+y+z≤1}
Calcola ∫D zdxdydz
Grazie a tutti!
Risposte
Provo ad interpretare quello che hai scritto (usare il codice Latex sarebbe consigliato anche dal regolamento): vuoi calcolare
$$\int_D z\ dx\ dy\ dz$$
dove
$$D=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}\ :\ (x-2z)^2+(y-x)^2+(x+z)^2\le 4,\ 0\le x\le y\le z\right\}$$
è corretto?
L'idea di usare quelle sostituzioni non è male: per il calcolo dell'integrale, a questo punto, indicando con $D'$ il nuovo dominio e osservando che dovrà essere $z=f(u,v,w)$ si avrà l'integrale
$$\int_{D'} f(u,v,w)\cdot|J|\ du\ dv\ dw$$
dove $|J|$ è il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione.
$$\int_D z\ dx\ dy\ dz$$
dove
$$D=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}\ :\ (x-2z)^2+(y-x)^2+(x+z)^2\le 4,\ 0\le x\le y\le z\right\}$$
è corretto?
L'idea di usare quelle sostituzioni non è male: per il calcolo dell'integrale, a questo punto, indicando con $D'$ il nuovo dominio e osservando che dovrà essere $z=f(u,v,w)$ si avrà l'integrale
$$\int_{D'} f(u,v,w)\cdot|J|\ du\ dv\ dw$$
dove $|J|$ è il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione.
Ciao, scusa uso il codice Latex (volevo scrivere un es. diverso da quello che hai scritto):
$$\int_D z\ dx\ dy\ dz$$
dove
$$D=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}\ :\ (x-2z)^2+(y-x)^2+(x+z)^2\le 4,\ 0\le x+y+z\le1\right\}$$
Cambiando coordinate in u,v,w e trovando lo jacobiano, come metto le limitazioni nell'integrale?
Grazie!
$$\int_D z\ dx\ dy\ dz$$
dove
$$D=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}\ :\ (x-2z)^2+(y-x)^2+(x+z)^2\le 4,\ 0\le x+y+z\le1\right\}$$
Cambiando coordinate in u,v,w e trovando lo jacobiano, come metto le limitazioni nell'integrale?
Grazie!
Volevo scrivere lo stesso ma ho scritto "\le" al posto di "+" nella condizione per il dominio. Comunque, con il cambiamento di coordinate che hai fatto, ottieni
$$u=x-2z,\ v=y-x,\ w=x+z\ \Rightarrow\ x=\frac{u+2w}{3},\ y=\frac{u+3v+2w}{3},\ z=\frac{-u+w}{3}$$
con $|J|=1/3$. Inoltre hai le condizioni
$$u^2+v^2+w^2\le 4,\qquad 0\le u+3v+5w\le 3$$
e l'integrale diventa
$$\int_{D'}\frac{-u+w}{9}\ du\ dv\ dw$$
$$u=x-2z,\ v=y-x,\ w=x+z\ \Rightarrow\ x=\frac{u+2w}{3},\ y=\frac{u+3v+2w}{3},\ z=\frac{-u+w}{3}$$
con $|J|=1/3$. Inoltre hai le condizioni
$$u^2+v^2+w^2\le 4,\qquad 0\le u+3v+5w\le 3$$
e l'integrale diventa
$$\int_{D'}\frac{-u+w}{9}\ du\ dv\ dw$$
Grazie! Ad esempio dato che ho tutte e tre le lettere nelle due limitazioni, se scelgo ad esempio w, la limitazione di w la prendo dalla prima(che indisca una sfera) o dalla seconda(che indica uno spazio tra due piani)?
Il dominio $D'$ risulta dall'intersezione tra la sfera e due piani paralleli. Per determinare le limitazioni, io farei un ulteriore cambio di variabile, il seguente:
$$u=\rho\cos\theta,\quad v=t,\quad w=\rho\sin\theta$$
in coordinate cilindriche. Ho usato $u,\ w$ per la parte "polare" dal momento che appaiono entrambe nella funzione da integrare. Ora, le condizioni per il dominio diventano
$$\rho^2+t^2\le 4,\qquad 0\le\rho(\cos\theta+5\sin\theta)+3t\le 3$$
Poniamo $F(\theta)=\cos\theta+5\sin\theta$ (e consideriamo per il momento $\theta$ un parametro): le due condizioni danno luogo alle curve nel piano $\rho O t$ seguenti:
1) circonferenza di centro l'origine e raggio 2, disegnata solo per le $\rho\ge 0$
2) due rette parallele di equazioni $t=-\frac{F(\theta)}{3}\rho, t=1-\frac{F(\theta)}{3}\rho$ di coefficiente angolare $m=m(\theta)=-\frac{F(\theta)}{3}$.
Se disegni queste curve nel piano, otterrai, per ogni $\theta$ fissato, un dominio che assomiglia ad un "trapezio" le cui basi sono determinate da queste due rette, uno dei lati obliqui coincide con il segmento dell'asse $t$ di estremi $O(0,0)$ e $A(0,1)$ mentre l'altro lato obliquo e un arco di circonferenza, i cui estremi sono le intersezioni della circonferenza di cui sopra con le due rette. Tali punti hanno coordinate
$$C\left(\frac{2}{\sqrt{1+m^2}},\frac{2m}{\sqrt{1+m^2}}\right),\quad B\left(\frac{\sqrt{4m^2+3}-m}{1+m^2},\frac{1+m\sqrt{4m^2+3}}{m^2+1}\right)$$
Osserva che tutto questo ragionamento vale per qualsiasi scelta di $\theta$ (non abbiamo dovuto fare restrizioni) pertanto $\theta\in[0,2\pi]$. Ora, il domino che abbiamo trovato, si scompone in due parti: un parallelogramma $D_1$ con vertici i punti $O,\ A,\ B$ e come ulteriore vertici il punto $D$ della retta $t=m\rho$ che ha la stessa ascissa di $B$ e quindi
$$D\left(\frac{\sqrt{4m^2+3}-m}{1+m^2},\frac{m(\sqrt{4m^2+3}-m)}{1+m^2}\right)$$
e un triangolo $D_2$ con base "curva" (coincidente con l'arco $BC$) e di ulteriore vertice $D$. Pertanto l'integrale diventa il seguente
$$\int_0^{2\pi}\left[\int_{D_1} \frac{\rho(\sin\theta-\cos\theta)}{9}\cdot\rho\ d\rho\ dt+\int_{D_2} \frac{\rho(\sin\theta-\cos\theta)}{9}\cdot\rho\ d\rho\ dt\right]$$
essendo
$$D_1=\left\{0\le\rho\le\frac{\sqrt{4m^2+3}-m}{1+m^2},\ m\rho\le t\le 1+m\rho\right\}\\ D_2=\left\{\frac{\sqrt{4m^2+3}-m}{1+m^2}\le \rho\le\frac{2}{\sqrt{1+m^2}},\ m\rho\le t\le\sqrt{4-\rho^2}\right\}$$
Il resto sono (lunghissimi) calcoli.
$$u=\rho\cos\theta,\quad v=t,\quad w=\rho\sin\theta$$
in coordinate cilindriche. Ho usato $u,\ w$ per la parte "polare" dal momento che appaiono entrambe nella funzione da integrare. Ora, le condizioni per il dominio diventano
$$\rho^2+t^2\le 4,\qquad 0\le\rho(\cos\theta+5\sin\theta)+3t\le 3$$
Poniamo $F(\theta)=\cos\theta+5\sin\theta$ (e consideriamo per il momento $\theta$ un parametro): le due condizioni danno luogo alle curve nel piano $\rho O t$ seguenti:
1) circonferenza di centro l'origine e raggio 2, disegnata solo per le $\rho\ge 0$
2) due rette parallele di equazioni $t=-\frac{F(\theta)}{3}\rho, t=1-\frac{F(\theta)}{3}\rho$ di coefficiente angolare $m=m(\theta)=-\frac{F(\theta)}{3}$.
Se disegni queste curve nel piano, otterrai, per ogni $\theta$ fissato, un dominio che assomiglia ad un "trapezio" le cui basi sono determinate da queste due rette, uno dei lati obliqui coincide con il segmento dell'asse $t$ di estremi $O(0,0)$ e $A(0,1)$ mentre l'altro lato obliquo e un arco di circonferenza, i cui estremi sono le intersezioni della circonferenza di cui sopra con le due rette. Tali punti hanno coordinate
$$C\left(\frac{2}{\sqrt{1+m^2}},\frac{2m}{\sqrt{1+m^2}}\right),\quad B\left(\frac{\sqrt{4m^2+3}-m}{1+m^2},\frac{1+m\sqrt{4m^2+3}}{m^2+1}\right)$$
Osserva che tutto questo ragionamento vale per qualsiasi scelta di $\theta$ (non abbiamo dovuto fare restrizioni) pertanto $\theta\in[0,2\pi]$. Ora, il domino che abbiamo trovato, si scompone in due parti: un parallelogramma $D_1$ con vertici i punti $O,\ A,\ B$ e come ulteriore vertici il punto $D$ della retta $t=m\rho$ che ha la stessa ascissa di $B$ e quindi
$$D\left(\frac{\sqrt{4m^2+3}-m}{1+m^2},\frac{m(\sqrt{4m^2+3}-m)}{1+m^2}\right)$$
e un triangolo $D_2$ con base "curva" (coincidente con l'arco $BC$) e di ulteriore vertice $D$. Pertanto l'integrale diventa il seguente
$$\int_0^{2\pi}\left[\int_{D_1} \frac{\rho(\sin\theta-\cos\theta)}{9}\cdot\rho\ d\rho\ dt+\int_{D_2} \frac{\rho(\sin\theta-\cos\theta)}{9}\cdot\rho\ d\rho\ dt\right]$$
essendo
$$D_1=\left\{0\le\rho\le\frac{\sqrt{4m^2+3}-m}{1+m^2},\ m\rho\le t\le 1+m\rho\right\}\\ D_2=\left\{\frac{\sqrt{4m^2+3}-m}{1+m^2}\le \rho\le\frac{2}{\sqrt{1+m^2}},\ m\rho\le t\le\sqrt{4-\rho^2}\right\}$$
Il resto sono (lunghissimi) calcoli.
Ciao, ti ringrazio tanto della risposta! Volevo solo chiederti, per gli m negativi, nel D2 non bisogna mettere
$\rho$m $<=$t$<=$1+m$\rho$?? In quanto nel quarto quadrante, a differenza del primo, il punto D sta sopra al C. Grazie ancora!
$\rho$m $<=$t$<=$1+m$\rho$?? In quanto nel quarto quadrante, a differenza del primo, il punto D sta sopra al C. Grazie ancora!
No, se osservi il disegno, la rette passante per 'origine si trova sempre sotto rispetto a quella che passa per il punto $A$.
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