Calcolo flusso senza usare il teorema della divergenza
Ciao a tutti ! 
Tra 2 giorni dovrò sostenere l'esame scritto di analisi 2.
Ma ho un dubbio riguardo il teorema della divergenza:
-Quando è che non si può utilizzare ?
Quando il dominio del campo vettoriale di $ R^3 $ non è regolare? Se si come lo capisco?
Il dubbio mi è venuto a causa di un esercizio che chiedeva di calcolare il flusso di un campo vettoriale generato da una carica puntiforme posta nell'origine attraverso una sfera di centro l'origine e raggio unitario,
l'espressione del campo vettoriale in questo caso è del tipo:
$ E(x,y,z)=(x/((x^2+y^2+z^2)^(3/2)),y/((x^2+y^2+z^2)^(3/2)),z/((x^2+y^2+z^2)^(3/2))) $
che non è definito proprio in $ (0,0,0) $ cioè nell'origine.
In questo caso la divergenza vale 0 in tutto $ R^3 $ tranne in $ (0,0,0) $ dove non è definita.
A questo punto il mio professore calcola il flusso con la definizione e non con il teorema della divergenza , quindi evidentemente viene a mancare qualche ipotesi per poter applicare il teorema della divergenza , io mi chiedo :
qual'è ?](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Tra 2 giorni dovrò sostenere l'esame scritto di analisi 2.
Ma ho un dubbio riguardo il teorema della divergenza:
-Quando è che non si può utilizzare ?
Quando il dominio del campo vettoriale di $ R^3 $ non è regolare? Se si come lo capisco?
Il dubbio mi è venuto a causa di un esercizio che chiedeva di calcolare il flusso di un campo vettoriale generato da una carica puntiforme posta nell'origine attraverso una sfera di centro l'origine e raggio unitario,
l'espressione del campo vettoriale in questo caso è del tipo:
$ E(x,y,z)=(x/((x^2+y^2+z^2)^(3/2)),y/((x^2+y^2+z^2)^(3/2)),z/((x^2+y^2+z^2)^(3/2))) $
che non è definito proprio in $ (0,0,0) $ cioè nell'origine.
In questo caso la divergenza vale 0 in tutto $ R^3 $ tranne in $ (0,0,0) $ dove non è definita.
A questo punto il mio professore calcola il flusso con la definizione e non con il teorema della divergenza , quindi evidentemente viene a mancare qualche ipotesi per poter applicare il teorema della divergenza , io mi chiedo :
qual'è ?
Risposte
$E(x,y,z)$ non è di classe $C^1(S^3)$.
Si scrive "qual è" e non "qual'è"...
Si scrive "qual è" e non "qual'è"...
"dan95":
Si scrive "qual è" e non "qual'è"...
Hai ragione
.Quindi se ho ben capito , prima di applicare il teorema della divergenza devo assicurarmi che il campo vettoriale sia di classe $ C^1$ in tutto l'interno della superficie considerata.
Quindi se invece avessi avuto il campo vettoriale $ E(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2) $ ,
allora avrei potuto usare il teorema della divergenza , giusto ?
Si, per quanto ne so io è così (oltre ad eventuali regolarità sul dominio), sul libro che c'è scritto?
Il libro dice :
Sia $ T $ un dominio regolare di $ R^3 $. Se $ F:T->R^3 $ è un campo vettoriale di classe $ C^1 $ , si ha ...
Dove i "..." indicano la nota formula del teorema della divergenza.
Quindi credo che questa definizione sia in accordo con quanto detto sopra.
--
Avrei però un altro dubbio :
mi è capitato di vedere in alcuni esercizi sul calcolo del flusso con la definizione ,
che una volta calcolato il vettore normale , si guarda il segno della terza componente e se è positiva si dice che il vettore è orientato verso l'esterno , mentre se è negativa verso l'interno.
Io mi chiedo , perché il verso è deciso solo dalla terza componente ?
Sia $ T $ un dominio regolare di $ R^3 $. Se $ F:T->R^3 $ è un campo vettoriale di classe $ C^1 $ , si ha ...
Dove i "..." indicano la nota formula del teorema della divergenza.
Quindi credo che questa definizione sia in accordo con quanto detto sopra.
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Avrei però un altro dubbio :
mi è capitato di vedere in alcuni esercizi sul calcolo del flusso con la definizione ,
che una volta calcolato il vettore normale , si guarda il segno della terza componente e se è positiva si dice che il vettore è orientato verso l'esterno , mentre se è negativa verso l'interno.
Io mi chiedo , perché il verso è deciso solo dalla terza componente ?
Che dice il libro a riguardo?
Io ho una mezza idea però non sono sicuro...
Io ho una mezza idea però non sono sicuro...
Sul libro non sono riuscito a trovare niente , ma una mezza idea ce la avrei anche io :
essendo l'asse delle z perpendicolare al piano xy ed essendo orientato verso l'alto ,
avere valori di z negativi significa avere un vettore di $ R^3 $ (somma delle 3 componenti lungo gli assi) che punta verso il basso , mentre avendo z positive verso l'alto.
Secondo te va bene come ragionamento?
essendo l'asse delle z perpendicolare al piano xy ed essendo orientato verso l'alto ,
avere valori di z negativi significa avere un vettore di $ R^3 $ (somma delle 3 componenti lungo gli assi) che punta verso il basso , mentre avendo z positive verso l'alto.
Secondo te va bene come ragionamento?
Si era simile al mio solo che io lo avevo applicato al sistema di riferimento ortogonale formato dal piano tangente alla superficie nel punto in cui è applicato il vettore normale e l'asse in cui questo giace.
Mo ci penso meglio
Mo ci penso meglio
Va bene
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