Calcolo flusso
Salve a tutti vi riporto l'esercizio:
sia dato il campo vettoriale $ F=(2x+y,xz,x+yz) $
data la piramide retta con vertice nell'origine e avente per base il quadrato con vertici i punti $ (1,1,-2) $; $ (-1,1,-2) $; $ (-1,-1,-2) $; $ (1,-1,-2) $; calcolare il flusso del rotore del campo F uscente dalla superficie laterale.
Per svolgerlo ho prima applicato il teorema del rotore ovvero ho calcolato il lavoro sul bordo orientato positivamente della base trovando il flusso uscente da tutta la piramide(ovvero uscente dalla superficie laterale + base: giusto?)e mi torna diverso da 0; poi ho sottratto il flusso uscente dalla base trovato applicando la definizione di flusso, ma il risultato è sbagliato.
Guardando sul web ho trovato che, applicando il teorema della divergenza, si ottiene che flusso uscente da tutta la superficie risulta essere 0 poiché si integra $ (Div(Rot(F))) $ che è sempre 0; sottraendo poi il flusso uscente dalla base calcolato come sopra il risultato torna; perché il flusso del rotore calcolato tramite il lavoro non mi torna 0? ho sbagliato qualche calcolo oppure ho proprio sbagliato metodo?
Inoltre ho trovato che analizzando l'enunciato del teorema del rotore si capisce che nei solidi composti come la piramide (superficie laterale + tappo per intendersi) il flusso uscente dalla superficie laterale è uguale al flusso entrante dalla base, è giusto?
Per favore aiutatemi a chiarire questi argomenti perché sono disperato.
Grazie in anticipo.
sia dato il campo vettoriale $ F=(2x+y,xz,x+yz) $
data la piramide retta con vertice nell'origine e avente per base il quadrato con vertici i punti $ (1,1,-2) $; $ (-1,1,-2) $; $ (-1,-1,-2) $; $ (1,-1,-2) $; calcolare il flusso del rotore del campo F uscente dalla superficie laterale.
Per svolgerlo ho prima applicato il teorema del rotore ovvero ho calcolato il lavoro sul bordo orientato positivamente della base trovando il flusso uscente da tutta la piramide(ovvero uscente dalla superficie laterale + base: giusto?)e mi torna diverso da 0; poi ho sottratto il flusso uscente dalla base trovato applicando la definizione di flusso, ma il risultato è sbagliato.
Guardando sul web ho trovato che, applicando il teorema della divergenza, si ottiene che flusso uscente da tutta la superficie risulta essere 0 poiché si integra $ (Div(Rot(F))) $ che è sempre 0; sottraendo poi il flusso uscente dalla base calcolato come sopra il risultato torna; perché il flusso del rotore calcolato tramite il lavoro non mi torna 0? ho sbagliato qualche calcolo oppure ho proprio sbagliato metodo?
Inoltre ho trovato che analizzando l'enunciato del teorema del rotore si capisce che nei solidi composti come la piramide (superficie laterale + tappo per intendersi) il flusso uscente dalla superficie laterale è uguale al flusso entrante dalla base, è giusto?
Per favore aiutatemi a chiarire questi argomenti perché sono disperato.
Grazie in anticipo.
Risposte
Facciamo un po' di ordine.
L'esercizio ti richiede di calcolare il flusso del rotore USCENTE DALLA SUPERFICIE LATERALE.
La piramide in questione è a base quadrata; ora non so se hai disegnato questo solido, vedresti una piramide con vertice nell'origine che poggia la propria base sul piano $z=-2$
Se applichi il teorema della divergenza ottieni il flusso che attraversa (dall'interno) verso l'esterno tutta la superficie CHIUSA, ma a te importa solo quello che attraversa la superficie LATERALE (NON LA SUPERFICIE TOTALE), quindi per differenza dovresti sottrarre quello che attraversa la superficie di base (il quadrato che poggia su $z=-2$)
Ora, i pro mi correggano se sbaglio, ti premetto che sono uno studente come te
Il fatto che la divergenza sia $0$ ci aiuta perché ci fa capire che le linee del campo di cui vogliamo calcolare il flusso si richiudono sempre: ciò significa che tanto flusso entra da una parte e altrettanto ne esce dall'altro.
Intuizione: dovendo calcolare il flusso uscente dalla superficie laterale, potrei calcolare quello entrante nella superficie di base.
La superficie di base è un quadrato (disegnalo su un piano $xy$) osserva che puoi calcolare il flusso molto agevolmente.
Infatti, la normale è $(0,0,1)$ e due vettori della superficie sono $u=(1,0,0)$ e $v=(0,1,0)$
$$\int \int_S \bar G(r(\bar u,\bar v))*\hat n*dS $$
Dove $\bar G=\nabla xx \bar F$ ed $S$ è il quadrato di cui abbiamo largamente parlato, non dovresti aver problemi a capire gli estremi e integrare.
Ora data la superficie così semplice, è molto agevole calcolare il flusso del rotore di $\bar F$, ma avresti anche potuto calcolare la circuitazione del campo $\bar F$ sul contorno di $S$, ovvero il quadrato. In tal caso il tuo lavoro quadruplica perché dovresti calcolarti la circuitazione su quattro segmenti, ma i calcoli sono ancora semplici nel caso specifico.
Stai attento che la circuitazione di un campo su una "traiettoria chiusa" equivale al flusso del ROTORE del campo attraverso una superficie qualunque che ha per bordo la "traiettoria chiusa" e quindi una superficie APERTA!
Per provare la correttezza del calcolo potresti calcolare il flusso di sopra e poi fare questi quattro integralini, la loro somma dovrà coincidere col flusso... magari potresti sbagliare il segno, significa semplicemente che hai sbagliato orientamento della curva.
Devi però prestare attenzione ai vettori di direzione dei tratti di curva dei quali vuoi calcolare la circuitazione.
Spero di esser stato sufficientemente chiaro e soprattutto di non aver commesso errori...per gli eventuali errori, qualcun altro provvederà xD
L'esercizio ti richiede di calcolare il flusso del rotore USCENTE DALLA SUPERFICIE LATERALE.
La piramide in questione è a base quadrata; ora non so se hai disegnato questo solido, vedresti una piramide con vertice nell'origine che poggia la propria base sul piano $z=-2$
Se applichi il teorema della divergenza ottieni il flusso che attraversa (dall'interno) verso l'esterno tutta la superficie CHIUSA, ma a te importa solo quello che attraversa la superficie LATERALE (NON LA SUPERFICIE TOTALE), quindi per differenza dovresti sottrarre quello che attraversa la superficie di base (il quadrato che poggia su $z=-2$)
Ora, i pro mi correggano se sbaglio, ti premetto che sono uno studente come te
Il fatto che la divergenza sia $0$ ci aiuta perché ci fa capire che le linee del campo di cui vogliamo calcolare il flusso si richiudono sempre: ciò significa che tanto flusso entra da una parte e altrettanto ne esce dall'altro.
Intuizione: dovendo calcolare il flusso uscente dalla superficie laterale, potrei calcolare quello entrante nella superficie di base.
La superficie di base è un quadrato (disegnalo su un piano $xy$) osserva che puoi calcolare il flusso molto agevolmente.
Infatti, la normale è $(0,0,1)$ e due vettori della superficie sono $u=(1,0,0)$ e $v=(0,1,0)$
$$\int \int_S \bar G(r(\bar u,\bar v))*\hat n*dS $$
Dove $\bar G=\nabla xx \bar F$ ed $S$ è il quadrato di cui abbiamo largamente parlato, non dovresti aver problemi a capire gli estremi e integrare.
Ora data la superficie così semplice, è molto agevole calcolare il flusso del rotore di $\bar F$, ma avresti anche potuto calcolare la circuitazione del campo $\bar F$ sul contorno di $S$, ovvero il quadrato. In tal caso il tuo lavoro quadruplica perché dovresti calcolarti la circuitazione su quattro segmenti, ma i calcoli sono ancora semplici nel caso specifico.
Stai attento che la circuitazione di un campo su una "traiettoria chiusa" equivale al flusso del ROTORE del campo attraverso una superficie qualunque che ha per bordo la "traiettoria chiusa" e quindi una superficie APERTA!
Per provare la correttezza del calcolo potresti calcolare il flusso di sopra e poi fare questi quattro integralini, la loro somma dovrà coincidere col flusso... magari potresti sbagliare il segno, significa semplicemente che hai sbagliato orientamento della curva.
Devi però prestare attenzione ai vettori di direzione dei tratti di curva dei quali vuoi calcolare la circuitazione.
Spero di esser stato sufficientemente chiaro e soprattutto di non aver commesso errori...per gli eventuali errori, qualcun altro provvederà xD
A me sembra tutto corretto, solo non capisco il significato di "superficie aperta".
La cosa più importante è sicuramente che il flusso uscente dal bordo della piramide è uguale al flusso entrante dalla base.
La cosa più importante è sicuramente che il flusso uscente dal bordo della piramide è uguale al flusso entrante dalla base.
"dissonance":
A me sembra tutto corretto, solo non capisco il significato di "superficie aperta".
La cosa più importante è sicuramente che il flusso uscente dal bordo della piramide è uguale al flusso entrante dalla base.
Grazzzzzie dissonance
"superficie aperta" è un modo informale per indicare che la superficie non è chiusa, ovvero non è la superficie esterna di un solido.
Aaaahhnnn ok.
grazie mille!!! leggendo per bene ciò che mi hai scritto ho capito il mio errore e ora torna tutto.
Grazie ancora sei stato molto chiaro
Grazie ancora sei stato molto chiaro
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