Calcolo di un integrale triplo

[lotuno]

Buongiorno, stamattina ho un dubbio su un integrale triplo che ritenevo molto semplice ma si è rivelato un po' ostico, vi posto la traccia:

Sia $Omega$ = {(x,y,z) di R^3 tali che: $x>= y^2 + z^2, z>=0, x<=1$ }. L'integrale $int_(Omega)(y^2+z^2)dxdydz $ quanto vale? Il risultato sul libro è $pi/12$.

Io ho tracciato la figura, un paraboloide che ha massima ampiezza nella funzione $y^2 + z^2 =1$ quindi ho integrato in x da 0 a 1, trovando $int (y^2+z^2) dydz$ che poi ho provato a svolgere passando in coordinate polari, con un angolo $vartheta$ che va da $0$ a $pi$ (perché $z>=0$) e un raggio che va da 0 a 1. Tuttavia così facendo mi è venuto $pi/4$, qualcuno mi dice cosa ho sbagliato?
Grazie in anticipo

[Noisemaker]

Il Dominio di $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ rappresenta la porzione di paraboloide con asse di simmetria coincidente con l'asse $x$ delimitata dai piani $x=1$ e $z=0;$




integrando per fili paralleli all'asse $x$ ottieni
\[\iiint\limits_{\Omega}(y^2+z^2) dxdydz=\iint\limits_{D}(y^2+z^2) \int_{x=y^2+z^2}^{1}dxdydz=\iint\limits_{D}(y^2+z^2)-(y^2+z^2)^2 dydz,\]
dove
\[D:=\{(y,z)\in\mathbb{R}^2:y^2+z^2\le 1, z\ge0 \};\]
utilizzando ora un cambiamento di variabile attraverso la funzione
\[\Phi(\rho,\vartheta)\:=\left(\rho\cos\vartheta;\rho\sin\vartheta\right)\]
con $\rho\in[0,1],\vartheta\in[0,\pi],$ ricordando il fattore jacobiano di trasformazione si ottiene:
\begin{align}
\iint\limits_{D}(y^2+z^2)-(y^2+z^2)^2 dydz=\iint\limits_{\Phi^{-1}(D)}(\rho^3-\rho^5) d\rho d\vartheta=\int_{\rho=0}^{1}\int_{\vartheta=0}^{\pi}(\rho^3-\rho^5) d\rho d\vartheta=\pi\left[\frac{\rho^4}{4}-\frac{\rho^6}{6}\right]_{\rho=0}^{1}=\frac{\pi}{12}.
\end{align}

[lotuno]

Grazie ad entrambi, ho capito dov'è l'errore per fortuna