Calcolo di un integrale indefinito.
Buongiorno,
ho il seguente integrale, che purtroppo, non riesco a risolverlo:
Procedo per sostituzione
$(x-2)/(x+2)=y^2$,
$x=(2y^2+2)/(1-y^2)$,
$dx=(8y)/(1-y^2)^2 dy$,
$int sqrt((x-2)/(x+2))dx=8 int (y^2)/(1-y^2)^2 dy.$
Trattasi di un integrale di funzione razionale, per cui procedo mediante la tecnica di integrazione per le funzioni razionali, quindi
$(y^2)/(1-y^2)^2=(y^2)/(y^2-1)^2=A/(y+1)+B/(y-1)+d/dy((C+Dy)/(y^2-1))= $
$=A/(y+1)+B/(y-1)+((D(y^2-1)-(C+Dy)(2y))/(y^2-1)^2)=$
$=A/(y+1)+B/(y-1)-(Dy^2+D+2Cy)/(y^2-1)^2=A(y-1)+B(y+1)-Dy^2-D-2Cy=y^2.$
Per il principio di identità dei polinomi, si ha il seguente sistema di tre equazioni e quattro incognite
\(\displaystyle S=\begin{cases} D=-1 \\ A+B-2C=0 \\ -A+B-D=0\end{cases} \to S=\begin{cases} D=-1 \\ A-C=1/2 \\ B=A-1 \end{cases} \)
qundi il sistema ammette $infty^1$, dove ho sbagliato ?
ho il seguente integrale, che purtroppo, non riesco a risolverlo:
$int sqrt((x-2)/(x+2))dx$
Procedo per sostituzione
$(x-2)/(x+2)=y^2$,
$x=(2y^2+2)/(1-y^2)$,
$dx=(8y)/(1-y^2)^2 dy$,
$int sqrt((x-2)/(x+2))dx=8 int (y^2)/(1-y^2)^2 dy.$
Trattasi di un integrale di funzione razionale, per cui procedo mediante la tecnica di integrazione per le funzioni razionali, quindi
$(y^2)/(1-y^2)^2=(y^2)/(y^2-1)^2=A/(y+1)+B/(y-1)+d/dy((C+Dy)/(y^2-1))= $
$=A/(y+1)+B/(y-1)+((D(y^2-1)-(C+Dy)(2y))/(y^2-1)^2)=$
$=A/(y+1)+B/(y-1)-(Dy^2+D+2Cy)/(y^2-1)^2=A(y-1)+B(y+1)-Dy^2-D-2Cy=y^2.$
Per il principio di identità dei polinomi, si ha il seguente sistema di tre equazioni e quattro incognite
\(\displaystyle S=\begin{cases} D=-1 \\ A+B-2C=0 \\ -A+B-D=0\end{cases} \to S=\begin{cases} D=-1 \\ A-C=1/2 \\ B=A-1 \end{cases} \)
qundi il sistema ammette $infty^1$, dove ho sbagliato ?
Risposte
Ciao galles90,
Ammetto di non aver guardato tutti i conti, ma sicuramente c'è un errore nell'ultimo passaggio, perché
$(y^2 - 1)^2 = (y - 1)^2(y + 1)^2 $
Quindi se dividi per $(y + 1) $ o per $(y - 1) $ non risultano corretti i polinomi che moltiplicano $A $ e $B $...
Ammetto di non aver guardato tutti i conti, ma sicuramente c'è un errore nell'ultimo passaggio, perché
$(y^2 - 1)^2 = (y - 1)^2(y + 1)^2 $
Quindi se dividi per $(y + 1) $ o per $(y - 1) $ non risultano corretti i polinomi che moltiplicano $A $ e $B $...
Ciao pilloeffe
si è lì l'errore, ho rifatto i conti mi ritrovo questo,
$A(y+1)(y-1)^2+B(y-1)(y+1)^2-Dy^2-D-2Cy=y^2$
$A(y+1)(y^2-2y+1)+B(y-1)(y^2+2y+1)-Dy^2-D-2Cy=y^2$
$A(y^3-2y^2+y+y^2-2y+1)+B(y^3+2y^2+y-y^2-2y-1)-Dy^2-D-2Cy=y^2$
$Ay^3-Ay^2-Ay+A+By^3+By^2-By-B-Dy^2-D-2Cy=y^2$
Metto a sistema
\(\displaystyle S=\begin{cases}A+B=0 \\ -A+B-D=1 \\ -A-B-2C=0 \\ A-B-D=0 \end{cases} \to S=\begin{cases}A+B=0 \\ -A+B-D=1 \\ C=0 \\ A=B+D \end{cases} \to S=\begin{cases}B=1/4 \\ D=-1/2 \\ C=0 \\ A=-1/4 \end{cases} \).
Quindi, dovrei avere
$8 int y^2/(y^2-1)dy=8[-1/4 int 1/(y+1) dy +1/4 int 1/(y-1)dy -1/2int d/dy(y/(y^2-1))dy]=8[-1/4ln|y-1|+1/4ln|y+1|-1/2(y/(y^2-1))]=-2 ln|y-1|+2ln|y+1|-4(y/(y^2-1))=2ln|(y+1)/(y-1)|-4(y/(y^2-1))$
Ci sta sicuramente un altro errore, perchè nell'immagine c'è il risultato, il quale me lo sono ricavato con GeoGebra, dove$g$ è una primitiva della funzione integranda $f=(8y^2)/(y^2-1)$, ed $h$ è la derivata della funzione $z=2ln|(y+1)/(y-1)|-4(y/(y^2-1))$.
Scusa galles, non puoi calcolare la derivata del risultato che hai trovato e vedere se coincide con la funzione integranda?
Mi sa che hai sbagliato di nuovo la funzione integranda, manca un quadrato a denominatore...
Comunque prima di partire col metodo che hai proposto io rielaborerei un po' l'integrale partendo da qui:
$\int sqrt((x-2)/(x+2))\text{d}x = 8 int (y^2)/(1-y^2)^2 \text{d}y = - 8 int (1 - y^2 - 1)/(1 - y^2)^2 \text{d}y = - 8\int \frac{\text{d}y}{1 - y^2} + 8\int \frac{\text{d}y}{(1 - y^2)^2} $
In alternativa potresti osservare che si ha:
$d/dy (y/(1 - y^2)) = \frac{y^2 + 1}{(1 - y^2)^2} = \frac{y^2}{(1 - y^2)^2} + \frac{1}{(1 - y^2)^2} $
per cui integrando...
Comunque prima di partire col metodo che hai proposto io rielaborerei un po' l'integrale partendo da qui:
$\int sqrt((x-2)/(x+2))\text{d}x = 8 int (y^2)/(1-y^2)^2 \text{d}y = - 8 int (1 - y^2 - 1)/(1 - y^2)^2 \text{d}y = - 8\int \frac{\text{d}y}{1 - y^2} + 8\int \frac{\text{d}y}{(1 - y^2)^2} $
In alternativa potresti osservare che si ha:
$d/dy (y/(1 - y^2)) = \frac{y^2 + 1}{(1 - y^2)^2} = \frac{y^2}{(1 - y^2)^2} + \frac{1}{(1 - y^2)^2} $
per cui integrando...
Grazie pilloeffe, grazie dissonance, rifaccio i calcoli e controllo. Questi tipi di esercizi non mi piacciono 
Scusate se mi intrometto ma non sarebbe stato più semplice moltiplicare, sotto il segno di integrale, la funzione integranda per $ \sqrt((x+2)/(x+2)) $ e poi applicare le proprietà dei radicali? In questo modo si ottengono due quadrati di binomi al numeratore e al denominatore che eliminano la radice. E poi applicare la divisione polinomiale…
Ciao mobley,
Beh, ma procedendo come suggerisci l'integrale diventerebbe $ \int \sqrt{x^2 - 4}/(x + 2) \text{d}x $, che comunque non mi pare più semplice di quello di partenza...
"mobley":
[...] e poi applicare le proprietà dei radicali? In questo modo si ottengono due quadrati di binomi al numeratore e al denominatore che eliminano la radice. [...]
Beh, ma procedendo come suggerisci l'integrale diventerebbe $ \int \sqrt{x^2 - 4}/(x + 2) \text{d}x $, che comunque non mi pare più semplice di quello di partenza...
@Mobley
Meglio moltiplicare per $sqrt((x-2)/(x-2))$ così l'integrale diventa:
$int (x-2)/sqrt(x^2-4) dx=int x/sqrt(x^2-4) dx-int 1/sqrt((x/2)^2-1) dx= sqrt(x^2-4)-int 1/sqrt((x/2)^2-1) dx$
Per comodità io prima porrei $y=x/2$ e poi con la sostituzione trigonometrica $tan(alpha)=sqrt(y^2-1)$ mi ritroverei a dover risolvere il banale $int sec(alpha)dalpha=ln(tan(alpha)+sec(alpha))=ln(sqrt(y^2-1)+y)=ln(sqrt((x/2)^2-1)+x/2)$
Quindi diventa $int sqrt((x-2)/(x+2))dx=sqrt(x^2-4)-2ln(sqrt((x/2)^2-1)+x/2)+C=sqrt(x^2-4)-2ln(sqrt(x^2-4)+x)+C$
Meglio moltiplicare per $sqrt((x-2)/(x-2))$ così l'integrale diventa:
$int (x-2)/sqrt(x^2-4) dx=int x/sqrt(x^2-4) dx-int 1/sqrt((x/2)^2-1) dx= sqrt(x^2-4)-int 1/sqrt((x/2)^2-1) dx$
Per comodità io prima porrei $y=x/2$ e poi con la sostituzione trigonometrica $tan(alpha)=sqrt(y^2-1)$ mi ritroverei a dover risolvere il banale $int sec(alpha)dalpha=ln(tan(alpha)+sec(alpha))=ln(sqrt(y^2-1)+y)=ln(sqrt((x/2)^2-1)+x/2)$
Quindi diventa $int sqrt((x-2)/(x+2))dx=sqrt(x^2-4)-2ln(sqrt((x/2)^2-1)+x/2)+C=sqrt(x^2-4)-2ln(sqrt(x^2-4)+x)+C$
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