Calcolo di questo limite?

Fab996
Calcolare $lim x->0^(-) (2(2x-2))/(3((x^(2)-2x)^(1/3)))$ e $lim x->0^(+) (2(2x-2))/(3((x^(2)-2x)^(1/3)))$
Perchè il primo limite tende a - infinito, mentre il secondo a + infinito?
Come devo considerare un limite quando tende a $0^(-)$ e $0^(+)$ ?

Risposte
donald_zeka
$(2(2x-2))/(3(x^2-2x)^(1/3))$

Raccogli una $x$ al denominatore:

$(2(2x-2))/(3(x^(1/3)(x-2)^(1/3))$

Che $x$ tenda a $0^+$ o a $0^-$, $2x-2$ e $(x-2)^(1/3)$ sono sempre quantità negative diverse da zero, pertanto negativo fratto negativo fa positivo. Considera a desso $x^(1/3)$, per $x$ che tende a $0^-$, la $x$ è negativa, così lo è quindi anche $x^(1/3)$, il limite fa quindi $1/0^(-)=-oo$, mentre per $x$ che tende a $0^+$ $x^(1/3)$ è positivo e quindi il limite fa $1/0^(+)=+oo$

Fab996
"Vulplasir":
$(2(2x-2))/(3(x^2-2x)^(1/3))$

Raccogli una $x$ al denominatore:

$(2(2x-2))/(3(x^(1/3)(x-2)^(1/3))$

Che $x$ tenda a $0^+$ o a $0^-$, $2x-2$ e $(x-2)^(1/3)$ sono sempre quantità negative diverse da zero, pertanto negativo fratto negativo fa positivo. Considera a desso $x^(1/3)$, per $x$ che tende a $0^-$, la $x$ è negativa, così lo è quindi anche $x^(1/3)$, il limite fa quindi $1/0^(-)=-oo$, mentre per $x$ che tende a $0^+$ $x^(1/3)$ è positivo e quindi il limite fa $1/0^(+)=+oo$

Da dove ti viene $1$ al numeratore ? e poi perché da sinistra la $x$ dovrebbe essere negativa, dato che il grafico non è neanche definito ?
Comunque l'esercizio non sarebbe $^(1/3)$, ma sarebbe con la radice cubica solo non so come scriverla

donald_zeka
Non hai ben chiaro il concetto di limite, il limite non si interessa dello $0$, dove chiaramente non è definita la funzione, ma si interessa di un intorno di 0, ossia con il limite visualizzi il comportamento di una funzione in un intorno del punto in cui vai a calcolare il limite. Qui vuoi calcolare il limite in $x=0$, hai una frazione, cosa fai? vedi quanto fa il limite di ciascuno pezzo che compone la frazione per x che tende a $0$, quali sono i pezzi che compongono la tua frazione? sono:

$1)$ $2x-2$ (il 2 che moltiplica il tutto d'avanti non ci interessa perché non cambia il segno)

$2)$ $(x-2)^(1/3)$ (il $3$ davanti non ci interessa perché non cambia il segno)

$3)$ $x^(1/3)$

Quanto fa il limite per $x$ che tende a $0^-$ e $0^+$ della $1)$? fa sempre -$2$, ossia una quantità "negativa"

Quanto fa il limite per $x$ che tende a $0^-$ e $0^+$ della $2)$? fa sempre $(-2)^(1/3)$, ossia anche qui una quantità "negativa"

Quanto fa il limite per $x$ che tende a $0^-$ e $0^+$ della $3)$? Qui vanno distinti i due casi, dato che per $x$ che tende a $0^-$, ossia $x$ "negativa", allora anche $x^(1/3)$ è "negativa", pertanto per $x$ che tende a $0^-$ hai che la tua frazione è composta da tre termini negativi, due dei quali sono diversi da zero, e uno, il $3)$ è uno "zero negativo", la divisione tra $1)$ e $2)$ dà una quantità positiva, infatti meno fratto meno fa più, pertanto il limite è un qualcosa di positivo fratto uno "zero negativo", e quindi fa meno infinito, stesso ragionamento per $0^+$ che fa quindi più infinito.

Fab996
"Vulplasir":
Non hai ben chiaro il concetto di limite, il limite non si interessa dello $0$, dove chiaramente non è definita la funzione, ma si interessa di un intorno di 0, ossia con il limite visualizzi il comportamento di una funzione in un intorno del punto in cui vai a calcolare il limite. Qui vuoi calcolare il limite in $x=0$, hai una frazione, cosa fai? vedi quanto fa il limite di ciascuno pezzo che compone la frazione per x che tende a $0$, quali sono i pezzi che compongono la tua frazione? sono:

$1)$ $2x-2$ (il 2 che moltiplica il tutto d'avanti non ci interessa perché non cambia il segno)

$2)$ $(x-2)^(1/3)$ (il $3$ davanti non ci interessa perché non cambia il segno)

$3)$ $x^(1/3)$

Quanto fa il limite per $x$ che tende a $0^-$ e $0^+$ della $1)$? fa sempre -$2$, ossia una quantità "negativa"

Quanto fa il limite per $x$ che tende a $0^-$ e $0^+$ della $2)$? fa sempre $(-2)^(1/3)$, ossia anche qui una quantità "negativa"

Quanto fa il limite per $x$ che tende a $0^-$ e $0^+$ della $3)$? Qui vanno distinti i due casi, dato che per $x$ che tende a $0^-$, ossia $x$ "negativa", allora anche $x^(1/3)$ è "negativa", pertanto per $x$ che tende a $0^-$ hai che la tua frazione è composta da tre termini negativi, due dei quali sono diversi da zero, e uno, il $3)$ è uno "zero negativo", la divisione tra $1)$ e $2)$ dà una quantità positiva, infatti meno fratto meno fa più, pertanto il limite è un qualcosa di positivo fratto uno "zero negativo", e quindi fa meno infinito, stesso ragionamento per $0^+$ che fa quindi più infinito.

Grazie ho capito:)

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