Calcolo di modulo e argomento di una funzione sinusoidale
Ciao a tutti!
Devo trasformare $f(t)=V_0 e^{-kt} [cos(\omega_0t)+\frac{h-k}{\omega0}sin(\omega0t))]$ in qualcosa del tipo $Asin(\omega_0t+\theta)$?
Il risultato è $f(t)=V_0 e^{-kt} [cos(\omega_0t)+\frac{h-k}{\omega0}sin(\omega0t))]=V_0\sqrt(1+\frac{h-k}{\omega0}^2)sin(\omega_0t+\theta)$.
Ma non ho capito come si fa questo passaggio.
$A$ penso sia il modulo di $f(t)$, ossia $|f(t)|=|V_0 e^{-kt}|\cdot|cos(\omega_0t)+\frac{h-k}{\omega0}sin(\omega_0t)|=V_0\cdot|cos(\omega_0t)+\frac{h-k}{\omega0}sin(\omega_0t)|$. Ma quest'ultimo modulo come si calcola? Perchè è uguale a $\sqrt(1+\frac{h-k}{\omega0}^2)$?
Poi sul libro c'è scritto che $\theta=arctan\frac{\omega_0}{h-k}$. Perchè?
Devo trasformare $f(t)=V_0 e^{-kt} [cos(\omega_0t)+\frac{h-k}{\omega0}sin(\omega0t))]$ in qualcosa del tipo $Asin(\omega_0t+\theta)$?
Il risultato è $f(t)=V_0 e^{-kt} [cos(\omega_0t)+\frac{h-k}{\omega0}sin(\omega0t))]=V_0\sqrt(1+\frac{h-k}{\omega0}^2)sin(\omega_0t+\theta)$.
Ma non ho capito come si fa questo passaggio.
$A$ penso sia il modulo di $f(t)$, ossia $|f(t)|=|V_0 e^{-kt}|\cdot|cos(\omega_0t)+\frac{h-k}{\omega0}sin(\omega_0t)|=V_0\cdot|cos(\omega_0t)+\frac{h-k}{\omega0}sin(\omega_0t)|$. Ma quest'ultimo modulo come si calcola? Perchè è uguale a $\sqrt(1+\frac{h-k}{\omega0}^2)$?
Poi sul libro c'è scritto che $\theta=arctan\frac{\omega_0}{h-k}$. Perchè?
Risposte
Grazie. Ho letto, ma non ci ho capito tanto.
In generale se ho due funzioni:
$f_1(t)=A sin(wt+\theta_1)$
$f_2(t)=A sin(wt+\theta_2)$
E voglio calcolare $f_3(t)=f_1(t)+f_2(t)=C sin (wt+\theta_3)$
Per calcolare $C$ e $\theta_3$ come faccio? Dovrei prima rappresentare $f_1(t)$ ed $f_2(t)$, ma come le rappresento, in modo generico?
EDIT
Dopo aver rappresentato $f_1(t)$ come un vettore di modulo $A$ e angolo $\theta_1$ ( e analogamente con $f_2(t)$ ), facendo due calcoli, ho trovato:
$C=\sqrt(A^2+B^2+2ABcos(\theta_1-\theta_2))$
$\theta_3=arctan(\frac{Asin\theta_1+Bsin\theta_2}{Acos\theta_1+Bcos\theta_2})$.
L'unico dubbio è: è lecito rappresentare $f_1(t)$ ed $f_2(t)$ in quel modo?
In generale se ho due funzioni:
$f_1(t)=A sin(wt+\theta_1)$
$f_2(t)=A sin(wt+\theta_2)$
E voglio calcolare $f_3(t)=f_1(t)+f_2(t)=C sin (wt+\theta_3)$
Per calcolare $C$ e $\theta_3$ come faccio? Dovrei prima rappresentare $f_1(t)$ ed $f_2(t)$, ma come le rappresento, in modo generico?
EDIT
Dopo aver rappresentato $f_1(t)$ come un vettore di modulo $A$ e angolo $\theta_1$ ( e analogamente con $f_2(t)$ ), facendo due calcoli, ho trovato:
$C=\sqrt(A^2+B^2+2ABcos(\theta_1-\theta_2))$
$\theta_3=arctan(\frac{Asin\theta_1+Bsin\theta_2}{Acos\theta_1+Bcos\theta_2})$.
L'unico dubbio è: è lecito rappresentare $f_1(t)$ ed $f_2(t)$ in quel modo?
Va bene, cercherò di spiegarmi meglio.
Il principio che viene utilizzato è quello per cui un segnale sinusoidale del tipo $f(t)=A*sen(omegat+varphi)$ può essere immaginato come un vettore $vec v$ di lunghezza $A$ rotante attorno al proprio punto di applicazione (cioè l'origine $O$) con una velocità angolare $omega$ costante.
Supponendo di scegliere un piano di riferimento solidale con quel vettore rotante, rispetto a quel piano il vettore, naturalmente, apparirebbe immobile.
Ora, se i segnali sinusoidali fossero due, dati dalle funzioni
$f_1(t)=A_1*sen(omegat+varphi_1)$
$f_2(t)=A_2*sen(omegat+varphi_2)$
(si noti che, per ipotesi, si suppone che i due segnali siano isofrequenziali)
allora, sempre rispetto al tipo di riferimento planare sopra descritto, si avrebbero due vettori di lunghezze $A_1$ e $A_2$, ma tra loro sfasati di un angolo geometrico $|varphi_1-varphi_2|$.
Naturalmente si può fissare il sistema di riferimento in modo tale che uno dei due vettori, per esempio quello associato al primo segnale, sia orientato lungo il semiasse orizzontale positivo; in questo modo si avrebbero due vettori del tipo:
$vec v_1=(A_1,0)$
$vec v_2=(A_2*cosvarphi,A_2*senvarphi)$
con $varphi=varphi_2-varphi_1$
A questo punto, per trovare i segnali somma e differenza, basta operare vettorialmente con $vec v_1$ e $vec v_2$ e poi dedurre il segnale temporale dalle caratteristiche del vettore risultante.
Spero sia un po' più chiaro, ora.
Saluti.
Il principio che viene utilizzato è quello per cui un segnale sinusoidale del tipo $f(t)=A*sen(omegat+varphi)$ può essere immaginato come un vettore $vec v$ di lunghezza $A$ rotante attorno al proprio punto di applicazione (cioè l'origine $O$) con una velocità angolare $omega$ costante.
Supponendo di scegliere un piano di riferimento solidale con quel vettore rotante, rispetto a quel piano il vettore, naturalmente, apparirebbe immobile.
Ora, se i segnali sinusoidali fossero due, dati dalle funzioni
$f_1(t)=A_1*sen(omegat+varphi_1)$
$f_2(t)=A_2*sen(omegat+varphi_2)$
(si noti che, per ipotesi, si suppone che i due segnali siano isofrequenziali)
allora, sempre rispetto al tipo di riferimento planare sopra descritto, si avrebbero due vettori di lunghezze $A_1$ e $A_2$, ma tra loro sfasati di un angolo geometrico $|varphi_1-varphi_2|$.
Naturalmente si può fissare il sistema di riferimento in modo tale che uno dei due vettori, per esempio quello associato al primo segnale, sia orientato lungo il semiasse orizzontale positivo; in questo modo si avrebbero due vettori del tipo:
$vec v_1=(A_1,0)$
$vec v_2=(A_2*cosvarphi,A_2*senvarphi)$
con $varphi=varphi_2-varphi_1$
A questo punto, per trovare i segnali somma e differenza, basta operare vettorialmente con $vec v_1$ e $vec v_2$ e poi dedurre il segnale temporale dalle caratteristiche del vettore risultante.
Spero sia un po' più chiaro, ora.
Saluti.
Più chiaro. Grazie! 
Di nulla, figurati.
Saluti.
Saluti.
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