Calcolo di limite
calcolare il limite :
\(\lim \) x\(^2 \) [ e\(^x \)\(/x \) \(arctg \)(e\(^-x \)) - (e\(^arctg1/x \) -1)]
x\(\rightarrow \) \(\propto \)
spero che si capisca come l'ho scritto.
comunque io ho pensato di utilizzare Taylor ma non so se prima devo fare qualche sostituzione.
\(\lim \) x\(^2 \) [ e\(^x \)\(/x \) \(arctg \)(e\(^-x \)) - (e\(^arctg1/x \) -1)]
x\(\rightarrow \) \(\propto \)
spero che si capisca come l'ho scritto.
comunque io ho pensato di utilizzare Taylor ma non so se prima devo fare qualche sostituzione.
Risposte
se nell'ultima parte intendevi scrivere \(\displaystyle e^{arctg(\frac{1}{x})} - 1 \), io l'ho risolto con i polinomi di Taylor ed il limite m'esce \(\displaystyle \frac{9}{8} \) adesso non so se ho fatto bene i calcoli ma con Taylor dovrebbe uscire senza effettuare alcuna sostituzione prima.
si intendevo quello..ma nn sono riuscita a scriverlo! cmq se nn occorrono sostituzioni è il top!grazie 
guarda..mi sono sbagliato con il risultato perchè non ho visto quel \(\displaystyle x^2 \) che moltiplica tutto..ma comunque per il procedimento non cambia nulla.
ma scusa... e\(^\arctan \)\(^1 / x \) come l'hai sviluppato cn taylor??? si è capito che non lo so scrivere vero? non serve che lo specifico...ihihihih 
@renata
da qui $\exp(\arctan(1/x))$
siccome $x\rightarrow+\infty$, hai che dentro l'arcotangente hai qualcosa che tende a 0, quindi puoi utilizzare lo sviluppo di Taylor-MacLaurin e arrivi a questo punto
$\exp(1/x+o(1/x))$
ora hai all'esponente dell'esponenziale qualcosa che tende a 0 quando $x\rightarrow+\infty$, per cui usa lo sviluppo di Taylor-MacLaurin di $e^x$ e hai
$1+1/x+o(1/x)$
ecco fatto
se hai dubbi chiedi pure
da qui $\exp(\arctan(1/x))$
siccome $x\rightarrow+\infty$, hai che dentro l'arcotangente hai qualcosa che tende a 0, quindi puoi utilizzare lo sviluppo di Taylor-MacLaurin e arrivi a questo punto
$\exp(1/x+o(1/x))$
ora hai all'esponente dell'esponenziale qualcosa che tende a 0 quando $x\rightarrow+\infty$, per cui usa lo sviluppo di Taylor-MacLaurin di $e^x$ e hai
$1+1/x+o(1/x)$
ecco fatto
se hai dubbi chiedi pure
allora. prima di tutto dobbiamo decidere a che derivata del polinomio di Taylor ci dobbiamo fermare .visto che la nostra funzione è primo grado allora ci fermeremo alla derivata prima..quindi...prima sviluppi \(\displaystyle arctg(\frac{1}{x}) \) che ti dovrebbe venire \(\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{3x^3} \)
poi sviluppi \(\displaystyle e^t \) dove \(\displaystyle t \) nel nostro caso è \(\displaystyle arctg(\frac{1}{x}) \) . visto che lo sviluppo di \(\displaystyle e^t \) è \(\displaystyle 1+t \) e \(\displaystyle t \) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{3x^3} \) l'intero sviluppo ti diventa \(\displaystyle 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{3x^3} \) ...
poi sviluppi \(\displaystyle e^t \) dove \(\displaystyle t \) nel nostro caso è \(\displaystyle arctg(\frac{1}{x}) \) . visto che lo sviluppo di \(\displaystyle e^t \) è \(\displaystyle 1+t \) e \(\displaystyle t \) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{3x^3} \) l'intero sviluppo ti diventa \(\displaystyle 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{3x^3} \) ...
ovviamente ti puoi fermare anche alla \(\displaystyle f(x_0) \) dello sviluppo di Taylor e ti si semplifica ulteriormente l'equazione..
Grazie mille
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