Calcolo di estremo superiore.
Buona sera a tutti , gentilmente mi spiegato come si calcola l'estremo superiore (per x che appartiene a R) |f(x)|.
Devo per caso fare il lim per x-->infinito |f(x)|, potete fornirmi qualche esempio , anche nel caso in cui l'interallo non sia tutto R ma un suo sottoinsieme!!?? graziee
Devo per caso fare il lim per x-->infinito |f(x)|, potete fornirmi qualche esempio , anche nel caso in cui l'interallo non sia tutto R ma un suo sottoinsieme!!?? graziee
Risposte
Devi trovare il valore più alto assunto salla funzione $f(x)$.
Nel punto che stai cercando, la derivata della funzione deve essere per forza 0 (altrimenti, da uno dei due lati troveresti un valore più alto). Quindi, trova la derivata di $f(x)$ rispetto a $x$, vedi quando è uguale a 0 e controlla in quale di questi casi il valore della funzione è più alto.
Se devi trovare l'estremo non in tutto $\mathcal{R}$, ma in un intervallo $[a, b]$, inserisci tra i "candidati" anche $f(a)$ e $f(b)$.
Nel punto che stai cercando, la derivata della funzione deve essere per forza 0 (altrimenti, da uno dei due lati troveresti un valore più alto). Quindi, trova la derivata di $f(x)$ rispetto a $x$, vedi quando è uguale a 0 e controlla in quale di questi casi il valore della funzione è più alto.
Se devi trovare l'estremo non in tutto $\mathcal{R}$, ma in un intervallo $[a, b]$, inserisci tra i "candidati" anche $f(a)$ e $f(b)$.
Aggiungo che se l'intervallo è tutto $RR$ fra i candidati ci sono anche $lim_(x->+-oo)f(x)$.
Se poi il dominio esclude qualche punto $c$, sono candidati anche i limiti per $x->c^(+-)$.
Come moderatore devo ammonirti: l'uso del compilatore per le formule è sempre vivamente raccomandato e diventa obbligatorio dopo 30 messaggi (tu sei a quota 48).
Se poi il dominio esclude qualche punto $c$, sono candidati anche i limiti per $x->c^(+-)$.
Come moderatore devo ammonirti: l'uso del compilatore per le formule è sempre vivamente raccomandato e diventa obbligatorio dopo 30 messaggi (tu sei a quota 48).
"giammaria":
Aggiungo che se l'intervallo è tutto $RR$ fra i candidati ci sono anche $lim_(x->+-oo)f(x)$.
Se poi il dominio esclude qualche punto $c$, sono candidati anche i limiti per $x->c^(+-)$.
È considerato un massimo, anche se non raggiunge mai quel valore?
Per esempio data la seguente funzione :
\(\displaystyle f\left ( x \right )= \left ( 1/2\Pi \right )e^{-x^{2}/4} \)
come calcolo il:
\(\displaystyle \sup \left ( x\varepsilon \Re \right )\left | f\left ( x \right ) \right | \) ??
Nonostante siete stati molto gentili nello scrivermi le definizioni e il procedimento , spero mi aiuterete con lo svolgimento esplicito dei calcoli perche cosi sono sicuro di poter capire il procedimento.Grazie
E mi scuso per la scrittura precedente delle formule.
\(\displaystyle f\left ( x \right )= \left ( 1/2\Pi \right )e^{-x^{2}/4} \)
come calcolo il:
\(\displaystyle \sup \left ( x\varepsilon \Re \right )\left | f\left ( x \right ) \right | \) ??
Nonostante siete stati molto gentili nello scrivermi le definizioni e il procedimento , spero mi aiuterete con lo svolgimento esplicito dei calcoli perche cosi sono sicuro di poter capire il procedimento.Grazie
E mi scuso per la scrittura precedente delle formule.
"Caenorhabditis":
È considerato un massimo, anche se non raggiunge mai quel valore?
No, se il valore non è raggiunto non è un massimo. La domanda iniziale parlava però di estremo superiore, non di massimo.
Lascio a te rispondere all'ultima domanda di daniele90013.
Arrivo prima di Caenorhabditis, quindi rispondo io.
Cominciamo a vedere dove si annulla la derivata. Si ha
$f'(x)=1/(2pi)e^(-x^2/4)*(-1/4*2x)=-x/(4pi)e^(-x^2/4)$
che si annulla solo in $x=0$, in cui si ha
$f(0)=1/(2pi)e^0=1/(2pi)$
Vediamo ora cosa succede nei due infiniti (lì non può esserci un massimo, ma può esserci un estremo superiore):
$lim_(x->+-oo)f(x)=1/(2pi)e^(-oo)=0$
Ho quindi ottenuto due soli valori, il più grande dei quali è $1/(2pi)$: questo è l'estremo superiore, nonché massimo sia assoluto che relativo.
Cominciamo a vedere dove si annulla la derivata. Si ha
$f'(x)=1/(2pi)e^(-x^2/4)*(-1/4*2x)=-x/(4pi)e^(-x^2/4)$
che si annulla solo in $x=0$, in cui si ha
$f(0)=1/(2pi)e^0=1/(2pi)$
Vediamo ora cosa succede nei due infiniti (lì non può esserci un massimo, ma può esserci un estremo superiore):
$lim_(x->+-oo)f(x)=1/(2pi)e^(-oo)=0$
Ho quindi ottenuto due soli valori, il più grande dei quali è $1/(2pi)$: questo è l'estremo superiore, nonché massimo sia assoluto che relativo.
grazie mille per l'imminente risposta .
Per completezza volevo chiederti, quando studi il limite della funzione , per x che diverge positivamente è un massimo visto che annulla la funzione , mentre per x che diverge negativamente cosa succede alla funzione?
Ed inoltre se per esempio la ricerca del sup fosse stata ristretta all intervallo \(\displaystyle \left [ a,b \right ] \) cosa sarebbe cambiato?!
E se l'intervallo è aperto , chiuso , aperto a destra e altro cambia qualcosa?
Grazie
Per completezza volevo chiederti, quando studi il limite della funzione , per x che diverge positivamente è un massimo visto che annulla la funzione , mentre per x che diverge negativamente cosa succede alla funzione?
Ed inoltre se per esempio la ricerca del sup fosse stata ristretta all intervallo \(\displaystyle \left [ a,b \right ] \) cosa sarebbe cambiato?!
E se l'intervallo è aperto , chiuso , aperto a destra e altro cambia qualcosa?
Grazie
Non capisco la tua domanda; tento una risposta relativa al tuo esercizio ma forse tu intendevi tutt'altro.
Traduco il tuo " per x che diverge positivamente" con "per $x->+oo$" e traduco il tuo "visto che annulla la funzione" con "visto che la funzione tende a zero" (senza però mai assumere questo valore e quindi senza annullarsi) e ti rispondo che no, non è un massimo assoluto perché la funzione non assume mai quel valore.
Non è neanche un estremo superiore perché quello non è il più alto valore che viene assunto o a cui si tende. Anzi, zero è il più basso fra tutti i candidati (valori assunti e limiti): è un estremo inferiore ma non un minimo (perché non viene raggiunto dalla funzione).
Il ragionamento non cambia per $x->-oo$: l'unica cosa che ti interessa sono i valori a cui tende $y$.
Veniamo ora agli intervalli limitati: se negli estremi la funzione esiste ed è continua, ne calcoli la $y$; in caso contrario ne calcoli il limite. A parte questo, per la ricerca degli estremi superiore ed inferiore non ha nessuna importanza che gli intervalli siano aperti o chiusi, in tutto o in parte.
Ne ha invece per la ricerca di massimi o minimi assoluti: questi ci sono solo se vengono raggiunti, cioè se il punto appartiene all'intervallo. Ad esempio, supponiamo di aver trovato che in $a$ c'e l'estremo superiore: se $a$ appartiene all'intervallo quello è anche massimo assoluto, mentre in caso contrario il massimo assoluto non esiste.
Traduco il tuo " per x che diverge positivamente" con "per $x->+oo$" e traduco il tuo "visto che annulla la funzione" con "visto che la funzione tende a zero" (senza però mai assumere questo valore e quindi senza annullarsi) e ti rispondo che no, non è un massimo assoluto perché la funzione non assume mai quel valore.
Non è neanche un estremo superiore perché quello non è il più alto valore che viene assunto o a cui si tende. Anzi, zero è il più basso fra tutti i candidati (valori assunti e limiti): è un estremo inferiore ma non un minimo (perché non viene raggiunto dalla funzione).
Il ragionamento non cambia per $x->-oo$: l'unica cosa che ti interessa sono i valori a cui tende $y$.
Veniamo ora agli intervalli limitati: se negli estremi la funzione esiste ed è continua, ne calcoli la $y$; in caso contrario ne calcoli il limite. A parte questo, per la ricerca degli estremi superiore ed inferiore non ha nessuna importanza che gli intervalli siano aperti o chiusi, in tutto o in parte.
Ne ha invece per la ricerca di massimi o minimi assoluti: questi ci sono solo se vengono raggiunti, cioè se il punto appartiene all'intervallo. Ad esempio, supponiamo di aver trovato che in $a$ c'e l'estremo superiore: se $a$ appartiene all'intervallo quello è anche massimo assoluto, mentre in caso contrario il massimo assoluto non esiste.
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