Calcolo derivata
Salve a tutti, avrei un problema nel calcolo della derivata della seguente funzione
$log_{\frac{1}{3} } (\sqrt{x^2+2x} - |x-1|)$
Qualcuno sarebbe cosi gentile da aiutarmi?
Grazie in anticipo
$log_{\frac{1}{3} } (\sqrt{x^2+2x} - |x-1|)$
Qualcuno sarebbe cosi gentile da aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
Qual è il problema?
Il problema è che io mi trovo:
$\frac{1}{ln \frac{1}{3} * (\sqrt{x^2+2x} - |x-1|) } *( \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}} - \frac{|x-1|}{x-1} )$
Ma in realtà non credo sia esatto in quanto facendo la derivata con geogebra non mi esce lo stesso risultato...
$\frac{1}{ln \frac{1}{3} * (\sqrt{x^2+2x} - |x-1|) } *( \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}} - \frac{|x-1|}{x-1} )$
Ma in realtà non credo sia esatto in quanto facendo la derivata con geogebra non mi esce lo stesso risultato...
La funzione da derivare mi pare sia questa
$$f(x)=\log_{1/3} g(x),\qquad g(x)=\sqrt{x^2+2x}-|x-1|$$
corretto? Mi spieghi cosa centra il prodotto tra $\log$ e $g(x)$ che hai scritto tu?
$$f(x)=\log_{1/3} g(x),\qquad g(x)=\sqrt{x^2+2x}-|x-1|$$
corretto? Mi spieghi cosa centra il prodotto tra $\log$ e $g(x)$ che hai scritto tu?
"ciampax":
La funzione da derivare mi pare sia questa
$$f(x)=\log_{1/3} g(x),\qquad g(x)=\sqrt{x^2+2x}-|x-1|$$
corretto? Mi spieghi cosa centra il prodotto tra $\log$ e $g(x)$ che hai scritto tu?
Scusa se non mi sono spiegato bene ma non conoscevo ancora la sintassi LaTeX, adesso ho riscritto tutto con la sintassi!
Per prima cosa: qual è la derivata di $\log_a x$?
"ciampax":
Per prima cosa: qual è la derivata di $\log_a x$?
$\frac{1}{x}*\frac{1}{ln a}$
Ah ecco, io continuavo a vedere $\log_{1/3}$ a denominatore e non capivo.
Per il resto, la derivata mi pare corretta: qual è il problema?
Per il resto, la derivata mi pare corretta: qual è il problema?
Perfetto, mi trovo!
"ciampax":
Ah ecco, io continuavo a vedere $\log_{1/3}$ a denominatore e non capivo.
Per il resto, la derivata mi pare corretta: qual è il problema?
Allora l'esercizio che devo svolgere è il seguente:
-Determinare in quali punti del dominio f(x) e' derivabile e calcolare f'(x):
Ora la domanda è la seguente:
Devo necessariamente calcolare la derivata di f(x) prima di poter dire in quali punti sia derivabile o posso anche dire in quali punti è derivabile prima di calcolare la derivata?
Ah, ecco. Allora, per svolgere un esercizio del genere senza calcolare esplicitamente la derivata, devi ragionare sulle varie funzioni elementari che compongono la funzione che stai analizzando e ricordare le loro caratteristiche. Ad esempio, sai che la funzione logaritmo è continua e derivabile in ogni punto del suo dominio, che la funzione $\sqrt{x}$, seppure definita per $x\ge 0$, non è derivabile per $x=0$ e che la funzione $|x|$ non è derivabile per $x=0$.
Sulla base di queste informazioni, puoi cercare di determinare, a priori, i punti di non derivabilità della funzione in esame e, in base a questi, calcolare la derivata in questi punti usando la definizione e verificare cosa accade realmente.
Sulla base di queste informazioni, puoi cercare di determinare, a priori, i punti di non derivabilità della funzione in esame e, in base a questi, calcolare la derivata in questi punti usando la definizione e verificare cosa accade realmente.
"ciampax":
Ah, ecco. Allora, per svolgere un esercizio del genere senza calcolare esplicitamente la derivata, devi ragionare sulle varie funzioni elementari che compongono la funzione che stai analizzando e ricordare le loro caratteristiche. Ad esempio, sai che la funzione logaritmo è continua e derivabile in ogni punto del suo dominio, che la funzione $\sqrt{x}$, seppure definita per $x\ge 0$, non è derivabile per $x=0$ e che la funzione $|x|$ non è derivabile per $x=0$.
Sulla base di queste informazioni, puoi cercare di determinare, a priori, i punti di non derivabilità della funzione in esame e, in base a questi, calcolare la derivata in questi punti usando la definizione e verificare cosa accade realmente.
Dopo essermi scervellato sono giunto alla conclusione di non essere in grado di determinare a priori i punti di non derivabilita della f(x), ora non so se:
1)Perchè ciò non è sempre possibile(intendo determinare i punti di non derivabilita a priori) e in questo caso non lo era;
2)Perchè semplicemente non ci sono arrivato!.
Tuttavia ho notato che hai scritto: "puoi cercare di determinare" e quel cercare mi ha messo KO!
Ad ogni modo vorrei sapere se è giusto il punto 1 o il punto 2 e nel caso in cui fosse giusto il punto 1 dovrei procedere diversamente?
Dunque, vediamo un po'. La funzione, come dicevamo, è la seguente:
$$f(x)=\log_{1/3} g(x),\ \qquad g(x)=\sqrt{x^2+2x}-|x-1|$$
e, come dicevamo prima, la sua derivata risulta
$$f'(x)=\frac{1}{g(x)\cdot\log(1/3)}\cdot\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}-\frac{|x-1|}{x-1}\right)$$
Osservando "anche" la derivata formale, puoi giungere alle seguenti conclusioni (a cui però puoi pervenire anche senza la derivazione):
1) dal momento che la derivata del logaritmo restituisce l'argomento a denominatore, e visto che sul dominio della funzione $g(x)>0$, questo termine non fornisce problemi di derivabilità, per cui possiamo tralasciarlo;
2) la derivata di una radice fornisce la funzione stessa a denominatore: pertanto, i punti in cui l'argomento della radice (radicando) si annulla, possono essere punti di non derivabilità. Ne segue che
$$x^2+2x=0\ \Leftrightarrow\ x=0,\ x=-2$$
che quindi sono da considerare come punti di non derivabilità
3) La funzione valore assoluto non risulta, in genere, derivabile nei punti in cui il suo argomento si annulla: pertanto abbiamo l'ulteriore punto $x=1$ da considerare.
Ora, dal momento che il dominio risulta (te lo lascio da verificare)
$$D=\left(\frac{1}{4},+\infty\right)$$
possiamo escludere le considerazioni sul punto $x=0$ e concentrarci solo sui punti $x=1,\ x=2$. Al fine di verificare cosa accade, dovrai calcolare il seguente limite
$$\lim_{h\to 0^\pm}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
essendo $x_0$ uno dei punti di eventuale non derivabilità trovati.
$$f(x)=\log_{1/3} g(x),\ \qquad g(x)=\sqrt{x^2+2x}-|x-1|$$
e, come dicevamo prima, la sua derivata risulta
$$f'(x)=\frac{1}{g(x)\cdot\log(1/3)}\cdot\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}-\frac{|x-1|}{x-1}\right)$$
Osservando "anche" la derivata formale, puoi giungere alle seguenti conclusioni (a cui però puoi pervenire anche senza la derivazione):
1) dal momento che la derivata del logaritmo restituisce l'argomento a denominatore, e visto che sul dominio della funzione $g(x)>0$, questo termine non fornisce problemi di derivabilità, per cui possiamo tralasciarlo;
2) la derivata di una radice fornisce la funzione stessa a denominatore: pertanto, i punti in cui l'argomento della radice (radicando) si annulla, possono essere punti di non derivabilità. Ne segue che
$$x^2+2x=0\ \Leftrightarrow\ x=0,\ x=-2$$
che quindi sono da considerare come punti di non derivabilità
3) La funzione valore assoluto non risulta, in genere, derivabile nei punti in cui il suo argomento si annulla: pertanto abbiamo l'ulteriore punto $x=1$ da considerare.
Ora, dal momento che il dominio risulta (te lo lascio da verificare)
$$D=\left(\frac{1}{4},+\infty\right)$$
possiamo escludere le considerazioni sul punto $x=0$ e concentrarci solo sui punti $x=1,\ x=2$. Al fine di verificare cosa accade, dovrai calcolare il seguente limite
$$\lim_{h\to 0^\pm}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
essendo $x_0$ uno dei punti di eventuale non derivabilità trovati.
"ciampax":
Dunque, vediamo un po'. La funzione, come dicevamo, è la seguente:
$$f(x)=\log_{1/3} g(x),\ \qquad g(x)=\sqrt{x^2+2x}-|x-1|$$
e, come dicevamo prima, la sua derivata risulta
$$f'(x)=\frac{1}{g(x)\cdot\log(1/3)}\cdot\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}-\frac{|x-1|}{x-1}\right)$$
Osservando "anche" la derivata formale, puoi giungere alle seguenti conclusioni (a cui però puoi pervenire anche senza la derivazione):
1) dal momento che la derivata del logaritmo restituisce l'argomento a denominatore, e visto che sul dominio della funzione $g(x)>0$, questo termine non fornisce problemi di derivabilità, per cui possiamo tralasciarlo;
2) la derivata di una radice fornisce la funzione stessa a denominatore: pertanto, i punti in cui l'argomento della radice (radicando) si annulla, possono essere punti di non derivabilità. Ne segue che
$$x^2+2x=0\ \Leftrightarrow\ x=0,\ x=-2$$
che quindi sono da considerare come punti di non derivabilità
3) La funzione valore assoluto non risulta, in genere, derivabile nei punti in cui il suo argomento si annulla: pertanto abbiamo l'ulteriore punto $x=1$ da considerare.
Ora, dal momento che il dominio risulta (te lo lascio da verificare)
$$D=\left(\frac{1}{4},+\infty\right)$$
possiamo escludere le considerazioni sul punto $x=0$ e concentrarci solo sui punti $x=1,\ x=2$. Al fine di verificare cosa accade, dovrai calcolare il seguente limite
$$\lim_{h\to 0^\pm}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
essendo $x_0$ uno dei punti di eventuale non derivabilità trovati.
Quindi correggimi se sbaglio:
Io so gia che la derivata della $f(x)$(senza calcolarla esplicitamente) si presenta come un prodotto tra
$1/(log(1/3)*g(x))$ e $g'(x)$
1)Posso tralasciare lo studio di $1/log(1/3)$ in quanto è un valore costante;
2)Restano $1/g(x)$ e $g'(x)$;
3)Non credo di aver capito bene perchè $1/g(x)$ non da problemi (però ho notato che il suo dominio è lo stesso della f(x));
4)So che radice di x e valore assoluto di x non sono sempre derivabili nel loro insieme di definizione, potrebbero non esserlo quando si annullano gli argomenti delle funzioni e li avremmo un punto di non derivabilita;
5)La prima si annulla per $x=0$ e $x=-2$, la seconda per $x=1$;
Credo si possano escludere sia $x=0$ che $x=-2$ in quanto non appartrengono all'insieme di definizione della f(x) e quindi non ha senso studiarli...
Adesso dobbiamo confermare i nostri dubbi nel punto $x=1$ e vediamo come si comporta la $f'(x)$ quando $x->1$
$$\lim_{h\to 1^+}f'(x)$$
$$\lim_{h\to 1^-}f'(x)$$
Ho calcolato i seguenti limiti e mi sono accorti che sono diversi(il valore numerico era
un po strano perche c'erano dei radicali) pero credo di essere abbstanza convinto che
siano diversi in quanto c'è quel valore assoluto che in un intorno destro e sinistro cambia segno.......)
Quindi posso concludere che $x=1$ è un punto angoloso per la f(x).
E' esatto o ho sbagliato qualcosa?
3) $1/g$ darebbe problemi se $g(x)=0$ per qualche $x\in D$. Ti pare che accada?
Per il resto è corretto (anche se non ho calcolato il limite esplicitamente, è molto probabile che $x=1$ sia un punto angoloso... perché?)
Per il resto è corretto (anche se non ho calcolato il limite esplicitamente, è molto probabile che $x=1$ sia un punto angoloso... perché?)
3)Giusto! Non ci avevo pensato!
Solo per completezza avevo detto che $x=1$ è un punto angoloso!
Ad ogni modo tutto questo ragionamento lo si è dovuto fare per evitare di calcolare la $f'(x)$, ora la domanda è: se invece la $f'(x)$ l'abbiamo già precedentemente calcolata, basta studiare semplicemente il dominio della funzione per determinare i punti di non derivabilita oppure dovrei studiare il segno di $f'(x)$ per poi mettere sotto esame i possibili punti in cui cambia l'andamento della funzione?
Io ho provato a studiare il segno della derivata prima studiando la disequazione
$f'(x)>=0$
E ho trovato che:
è positiva nell'intervallo $(-\infty,-2)$
è negativa nell'intervallo $(-2,0)$
è positiva nell'intervallo $(0,1/4)$
è negativa nell'intervallo$(1/4, 1)$
è positiva nell'intervallo $(1,+\infty)$
E per la precisione in 1 si annulla.
Ora mi chiedo, tutta questa lunga disequazione probabilmente l'ho svolta inutilmente perchè avrei dovuto vedere solamente dove la $f'(x)$ si annullava...???
Solo per completezza avevo detto che $x=1$ è un punto angoloso!
Ad ogni modo tutto questo ragionamento lo si è dovuto fare per evitare di calcolare la $f'(x)$, ora la domanda è: se invece la $f'(x)$ l'abbiamo già precedentemente calcolata, basta studiare semplicemente il dominio della funzione per determinare i punti di non derivabilita oppure dovrei studiare il segno di $f'(x)$ per poi mettere sotto esame i possibili punti in cui cambia l'andamento della funzione?
Io ho provato a studiare il segno della derivata prima studiando la disequazione
$f'(x)>=0$
E ho trovato che:
è positiva nell'intervallo $(-\infty,-2)$
è negativa nell'intervallo $(-2,0)$
è positiva nell'intervallo $(0,1/4)$
è negativa nell'intervallo$(1/4, 1)$
è positiva nell'intervallo $(1,+\infty)$
E per la precisione in 1 si annulla.
Ora mi chiedo, tutta questa lunga disequazione probabilmente l'ho svolta inutilmente perchè avrei dovuto vedere solamente dove la $f'(x)$ si annullava...???
Ma ti pare che la derivata prima si possa annullare in $x=1$? Rifletti bene...
"ciampax":
Ma ti pare che la derivata prima si possa annullare in $x=1$? Rifletti bene...
Ehm, credo di aver sbagliato i calcoli...!
Ad ogni modo qual è il ragionamento corretto da seguire?
Non è una questione di calcoli. La mia domanda è: hai scritto esplicitamente la derivata e risolto la disequazione $f'(x)\ge 0$. Ora, ammettendo che trovi $x=1$ come soluzione di $f'(x)=0$ secondo te è accettabile? Pensa a come hai scritto la derivata prima.
Il punto $x=1$ non appartiene all'insieme di definizione della $f'(x)$, è questo che intendi?
Esatto.
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