Calcolo dell'errore
Salve,
mi potreste fornire almeno un metodo per risolvere il calcolo dell'errore di taylor???
in particolare avendo il seguente esercizio:
Scrivere il polinomio di taylor P(x) di f(x)=sin x , x€[0,1], con x.=0 e con errore 10^(-2)
ps l'€ sta per appartiene e il x. sta per x con zero...
lo sviluppo di taylor mi è noto, ma il resto mi è completamente oscuro...
grazie
mi potreste fornire almeno un metodo per risolvere il calcolo dell'errore di taylor???
in particolare avendo il seguente esercizio:
Scrivere il polinomio di taylor P(x) di f(x)=sin x , x€[0,1], con x.=0 e con errore 10^(-2)
ps l'€ sta per appartiene e il x. sta per x con zero...
lo sviluppo di taylor mi è noto, ma il resto mi è completamente oscuro...
grazie
Risposte
Basta considerare lo sviluppo di Taylor con resto di Lagrange; per il seno si ha
$sen x=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+...+(-1)^n(x^(2n+1))/((2n+1)!)+R_n$
dove
$R_n=(-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)cos(\theta x)$
con $0 < \theta < 1$. Osservando che la funzione coseno decresce in $[0,1]$ si ha
$R_n \le (-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)$.
Basta ora imporre che tale errore sia controllato da quanto richiesto.
$sen x=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+...+(-1)^n(x^(2n+1))/((2n+1)!)+R_n$
dove
$R_n=(-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)cos(\theta x)$
con $0 < \theta < 1$. Osservando che la funzione coseno decresce in $[0,1]$ si ha
$R_n \le (-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)$.
Basta ora imporre che tale errore sia controllato da quanto richiesto.
io sapevo che
$Rn(y)=1/(n+1)*((-1)^n)/(1+E)^(n+1)*y^(n+1)$ con $E$ appartenente a $(y,0)$...
è errata??? che procedimento devo adottare? grazie
$Rn(y)=1/(n+1)*((-1)^n)/(1+E)^(n+1)*y^(n+1)$ con $E$ appartenente a $(y,0)$...
è errata??? che procedimento devo adottare? grazie
Non so da dove venga quella formula per il resto...
uhmmm o i miei appunti sono un po confusi o lo sono io!
come posso approfondire l'argomento? non so come cercare e così in rete non trovo nulla! almeno se leggo qualche cosa poi al massimo posso fare domande più mirate o anche nessuna
sapete mica consigliarmi qualche link anche in lingua inglese? grazie mille per l'aiuto
come posso approfondire l'argomento? non so come cercare e così in rete non trovo nulla! almeno se leggo qualche cosa poi al massimo posso fare domande più mirate o anche nessuna
sapete mica consigliarmi qualche link anche in lingua inglese? grazie mille per l'aiuto
Basta considerare lo sviluppo di Taylor con resto di Lagrange; per il seno si ha
$sen x=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+...+(-1)^n(x^(2n+1))/((2n+1)!)+R_n$
fin qui ci sono in quanto $f(x)=P_n+R_n$
dove
$R_n=(-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)cos(\theta x)$
il $\theta$ da dove lo ricavo? ovvero come faccio a includerlo nel calcolo dell'errore? per calcolare l'$R_n$ c'è una formula generica? come faccio a imporre che tale errore sia controllato da quanto richiesto? grazie per la pazienza, vorrei evitare di riempirvi di domande ma ho una base d'appoggio limitata e una dispensa su cui studiare che lo è ancora di più...
"Cavallo Goloso":
il $\theta$ da dove lo ricavo? ovvero come faccio a includerlo nel calcolo dell'errore?
Non devi ricavarlo. Devi stimare l'equazione, come scritto pochi post sopra.
Poichè $cos(x) \le 1$ per ogni x puoi scrivere $R_n=(-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)cos(\theta x) \le (-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)$.
"Cavallo Goloso":
per calcolare l'$R_n$ c'è una formula generica?
Se la funzione f è derivabile n+1 volte esiste $\theta$, compreso tra $x_0$ e $x$, tale che $R_n = (f^((n+1))(\theta))/((n+1)!)(x-x_0)^(n+1)$.
"blulaserstar":
come posso approfondire l'argomento? non so come cercare e così in rete non trovo nulla! almeno se leggo qualche cosa poi al massimo posso fare domande più mirate o anche nessuna
sapete mica consigliarmi qualche link anche in lingua inglese? grazie mille per l'aiuto
Queste sono le note del corso di analisi in cui ho studiato la formula di Taylor, forse possono esserti utili.
ricapitolando:
scrivere il polinomio di Taylor P(x) di $ f(x)=sinx, x \in [0,1]$, con $x_0=0$ e con errore $10^-2$
considerato che lo sviluppo del polinomio è cosa nota e semplice
io rimango sempre senza questo dannato errore come mai? dove sta? help
scrivere il polinomio di Taylor P(x) di $ f(x)=sinx, x \in [0,1]$, con $x_0=0$ e con errore $10^-2$
considerato che lo sviluppo del polinomio è cosa nota e semplice
come faccio a imporre che tale errore sia controllato da quanto richiesto?
io rimango sempre senza questo dannato errore come mai? dove sta? help
Mi sembrava di essere stato chiaro:
$R_n≤(-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)$. Se fin qui ci sei, basta imporre $|R_n|<10^(-2)$ e trovare $n>...$.
$R_n≤(-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)$. Se fin qui ci sei, basta imporre $|R_n|<10^(-2)$ e trovare $n>...$.
$R_n≤(-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)$
di questo non capisco da dove spunta il $+3$ a esponente e a denominatore....
considerata valida una volta imposto $|R_n|<10^(-2)$ non so trovare $n>...$ per carenze mie... mi daresti una mano a capire come fare?
$grazie^oo$
di questo non capisco da dove spunta il $+3$ a esponente e a denominatore....
considerata valida una volta imposto $|R_n|<10^(-2)$ non so trovare $n>...$ per carenze mie... mi daresti una mano a capire come fare?
$grazie^oo$
E' il resto di Lagrange nello sviluppo di Taylor del seno. Su ogni libro di Analisi trovi la formula di Taylor del seno con quel resto di Lagrange.
Quanto al calcolo diretto, basta che risolvi $1/((2n+3)!)<1/100$, in quanto $x \in [0,1]$. Deve quindi essere $(2n+3)!>100$, ovvero $n \ge 1$ (facendo i conti a mano direttamente, $n=0$, $n=1$).
Quanto al calcolo diretto, basta che risolvi $1/((2n+3)!)<1/100$, in quanto $x \in [0,1]$. Deve quindi essere $(2n+3)!>100$, ovvero $n \ge 1$ (facendo i conti a mano direttamente, $n=0$, $n=1$).
capito... effettivamente sono stato un po ingenuo!
ora però rimane un problemone... io non la so mica ricavare la formula del resto di Lagrange
cioè una volta partito da:
come sostituisco la generica del seno per arrivare a questo? :
$R_n=(-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)cos(\theta x) \le (-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)$.
grazie
ora però rimane un problemone... io non la so mica ricavare la formula del resto di Lagrange
cioè una volta partito da:
come sostituisco la generica del seno per arrivare a questo? :
$R_n=(-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)cos(\theta x) \le (-1)^(n+1)(x^(2n+3))/((2n+3)!)$.
grazie
Sì, usa quella con $x_0=0$ e tieni conto che le derivate del seno sono alternativamente seni e coseni, quindi in modulo maggiorati da $1$, quindi non serve nemmeno $cos(\theta x)$...
rinuncio ti chiedo scusa... ma non riesco proprio a capire come diavolo si svoglano questi esercizi!
ti ringrazio tanto per la pazienza
ti ringrazio tanto per la pazienza
No, mai rinunciare. Allora, andiamo con ordine, in effetti io ti ho presentato un resto di Lagrange che non è quello standard, ma è la versione semplificata per la funzione seno. Procediamo con il "tuo" resto; ricordiamo che stiamo sviluppando $sen x$ attorno ad $x_0=0$ e nell'intervallo $[0,1]$. Allora il resto di Lagrange ci dice che se ci arrestiamo all'ordine $n$ si ha
$R_n=(f^(n+1)(x_1))/((n+1)!)x^(n+1)$
dove $x_1$ è un opportuno punto in $[0,1]$.
Ora per la funzione seno le derivate sono alternativamente seno e coseno, quindi in modulo stanno tutte sotto $1$. Dunque se $x \in [0,1]$ si ha
$|R_n| \le 1/((n+1)!)$. Ora basta imporre $(n+1)!\ge 100$ e trovare $n$.
$R_n=(f^(n+1)(x_1))/((n+1)!)x^(n+1)$
dove $x_1$ è un opportuno punto in $[0,1]$.
Ora per la funzione seno le derivate sono alternativamente seno e coseno, quindi in modulo stanno tutte sotto $1$. Dunque se $x \in [0,1]$ si ha
$|R_n| \le 1/((n+1)!)$. Ora basta imporre $(n+1)!\ge 100$ e trovare $n$.
Ora basta imporre $(n+1)!\ge 100$ e trovare $n$.
si, ma in questo caso verrebbe $n\ge4$ invece che, come detto prima $n\ge1$... come mai???
Perchè ho usato, in quest'ultimo caso, la formula del resto standard, direttamente dalla formula di Taylor generale. In realtà si dimostra che per il seno vale la formula del resto che ho dato nel primo post che ho scritto, che è migliore, ed infatti in base a quella basta fermarsi a $n=1$.
quindi in pratica non c'è una risposta corretta rispetto all'altra, sono giuste entrambi anche se forniscono 2 valori di $n$ differenti perchè associate a due sviluppi distinti?
quale è la domanda?
quale sia la risposta corretta dipende dalla domanda!
se si vuole trovare il polinomio (di Taylor) di grado minimo che soddisfa le condizioni richieste, è un conto
se si vuole trovare un polinomio che le soddisfa, è un altro
quale sia la risposta corretta dipende dalla domanda!
se si vuole trovare il polinomio (di Taylor) di grado minimo che soddisfa le condizioni richieste, è un conto
se si vuole trovare un polinomio che le soddisfa, è un altro
la domanda è in testa pagina al primo post 
Scrivere il polinomio di taylor $P(x)$ di $f(x)=sin x$ , $x\in[0,1]$, con $x_0=0$ e con errore $10^(-2)$
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