Calcolo della trasformata di Laplace ed esempi poco chiari
Salve a tutti, non sono sicuro di aver scelto il posto giusto in cui inserire questa domanda e se così fosse chiedo scusa fin da ora. Ad ogni modo, sono uno studente di informatica, devo sostenere un corso che si chiama "Segnali e Sistemi" e in questo ambito una delle cose richieste è il calcolo della trasformata di Laplace. Confesso di non essere particolarmente ferrato sull'argomento e di avere un professore che non è il massimo della chiarezza. A ciò aggiungete che il libro di testo ("Segnali e Sistemi" di Cariolaro, Pierobon, Calvagno) non è particolarmente intuitivo e avrete un quadro della mia situazione di partenza.
Il mio problema è questo: ho bisogno di capire come, in pratica, va calcolata la trasformata di Laplace. Di seguito vi inserisco un esempio di esercizio svolto dal professore, se qualcuno potesse spiegarmi come arriva al risultato in maniera semplice (e possibilmente replicabile) gliene sarei davvero grato
Il mio problema è questo: ho bisogno di capire come, in pratica, va calcolata la trasformata di Laplace. Di seguito vi inserisco un esempio di esercizio svolto dal professore, se qualcuno potesse spiegarmi come arriva al risultato in maniera semplice (e possibilmente replicabile) gliene sarei davvero grato
Risposte
L'esercizio è svolto, quindi vorremmo capire dove ti blocchi.
Non so in base a quali regole decomponga la funzione, nè come faccia a passare da f(t) a F(S).
Vorrei comprendere quali sono i passaggi intermedi e (magari) da cosa sono motivati.
Vorrei comprendere quali sono i passaggi intermedi e (magari) da cosa sono motivati.
non c'è una regola, devi usare la funzione gradino in maniera ragionevole (e naturalmente L-trasformare poi), ma per quello è utile guardarsi qualche esempio.
il tuo libro di testo non è fatto male comunque, l'ho consultato più di qualche volta
il tuo libro di testo non è fatto male comunque, l'ho consultato più di qualche volta
Cioè... Sai com'è definita la trasformata di Laplace?
Ne conosci le proprietà?
Conosci le trasformate fondamentali?
Se la risposta è no, vattele a studiare, poi ne riparliamo.
Se invece le hai studiate, allora basta dirti che ha usato la linearità, le trasformate fondamentali e la proprietà di traslazione in tempo, applicando queste regole ai vari pezzi in cui è scomposta [tex]$f(t)$[/tex].
Come si scomponga $f(t)$ è molto semplice da valutare: infatti essa assume il valore [tex]$2$[/tex] in [tex]$[0,2[$[/tex] ed il valore [tex]$2 e^{2-t}$[/tex] in [tex]$[2,+\infty[$[/tex] e ciò vuol dire che essa è somma di una porta [tex]$1(t)-1(t-2)$[/tex] moltiplicata per [tex]$2$[/tex] e di un gradino [tex]$1(t-2)$[/tex] moltiplicato per [tex]$2e^{2-t}$[/tex].
Questa è una scomposizione "canonica": infatti se hai assegnata una funzione del tipo:
[tex]$f(t):=\begin{cases} f_0(t) &\text{, se $t
allora [tex]$f(t)$[/tex] si rappresenta come somma di porte moltiplicate per le varie espressioni [tex]$f_n(t)$[/tex] al modo che segue:
[tex]$f(t)=f_0(t)\ [1-1(t-a_0)] +\sum_{n=1}^N f_n(t)\ [1(t-a_{n-1}) -1(t-a_n)] + f_{N+1}(t)\ 1(t-a_{N})$[/tex].
Infine per calcolare le trasformate dei vari pezzi o applichi le varie proprietà della trasformata per ricondurti alle trasformate notevoli (come nel primo svolgimento) oppure usi direttamente la definizione (come nel secondo).
Prova un po'.
Ne conosci le proprietà?
Conosci le trasformate fondamentali?
Se la risposta è no, vattele a studiare, poi ne riparliamo.
Se invece le hai studiate, allora basta dirti che ha usato la linearità, le trasformate fondamentali e la proprietà di traslazione in tempo, applicando queste regole ai vari pezzi in cui è scomposta [tex]$f(t)$[/tex].
Come si scomponga $f(t)$ è molto semplice da valutare: infatti essa assume il valore [tex]$2$[/tex] in [tex]$[0,2[$[/tex] ed il valore [tex]$2 e^{2-t}$[/tex] in [tex]$[2,+\infty[$[/tex] e ciò vuol dire che essa è somma di una porta [tex]$1(t)-1(t-2)$[/tex] moltiplicata per [tex]$2$[/tex] e di un gradino [tex]$1(t-2)$[/tex] moltiplicato per [tex]$2e^{2-t}$[/tex].
Questa è una scomposizione "canonica": infatti se hai assegnata una funzione del tipo:
[tex]$f(t):=\begin{cases} f_0(t) &\text{, se $t
allora [tex]$f(t)$[/tex] si rappresenta come somma di porte moltiplicate per le varie espressioni [tex]$f_n(t)$[/tex] al modo che segue:
[tex]$f(t)=f_0(t)\ [1-1(t-a_0)] +\sum_{n=1}^N f_n(t)\ [1(t-a_{n-1}) -1(t-a_n)] + f_{N+1}(t)\ 1(t-a_{N})$[/tex].
Infine per calcolare le trasformate dei vari pezzi o applichi le varie proprietà della trasformata per ricondurti alle trasformate notevoli (come nel primo svolgimento) oppure usi direttamente la definizione (come nel secondo).
Prova un po'.
Innanzitutto grazie per le risposte, siete stati rapidissimi!
Ora, vediamo se ci sto capendo qualcosa: alla decomposizione della funzione, provando a ragionare con calma, ero riuscito ad arrivare. A questo punto si tratta di trovare, sfruttando la proprietà di linearità, le trasformate dei vari pezzi. Per quanto riguarda il gradino unitario la trasformata è $ 1/s $ (moltiplicato per due, $ 2/s $); la trasformata di $ 1(t-2) $ invece si ottiene, sfruttando le proprietà di traslazione nel tempo, come $ e^(-s*t)*F(S) $, dunque $ 2*(e^(-2*s))/s $; a questo punto però ho qualche problema, perchè non riesco a capire se posso portare anche $ e^(2-t)*1(t-2) $ ad una forma tale da poter utilizzare una delle trasformate fondamentali... posso valutare separatamente esponenziale e gradino? Come si ottiene il risultato dell'esercizio?
Ora, vediamo se ci sto capendo qualcosa: alla decomposizione della funzione, provando a ragionare con calma, ero riuscito ad arrivare. A questo punto si tratta di trovare, sfruttando la proprietà di linearità, le trasformate dei vari pezzi. Per quanto riguarda il gradino unitario la trasformata è $ 1/s $ (moltiplicato per due, $ 2/s $); la trasformata di $ 1(t-2) $ invece si ottiene, sfruttando le proprietà di traslazione nel tempo, come $ e^(-s*t)*F(S) $, dunque $ 2*(e^(-2*s))/s $; a questo punto però ho qualche problema, perchè non riesco a capire se posso portare anche $ e^(2-t)*1(t-2) $ ad una forma tale da poter utilizzare una delle trasformate fondamentali... posso valutare separatamente esponenziale e gradino? Come si ottiene il risultato dell'esercizio?
Ma guarda, in questi casi basta fare qualche passaggino algebrico per risolvere...
Ad esempio:
[tex]$e^{2-t}\ 1(t-2)=e^{-(t-2)}\ 1(t-2)$[/tex]
quindi devi usare la proprietà di traslazione e quella di moltiplicazione per un esponenziale nel tempo.
Ad esempio:
[tex]$e^{2-t}\ 1(t-2)=e^{-(t-2)}\ 1(t-2)$[/tex]
quindi devi usare la proprietà di traslazione e quella di moltiplicazione per un esponenziale nel tempo.
Allora posso considerare la funzione $ e^-t*1(t) $ traslata nel tempo, giusto? Ma in questo caso la trasformata non dovrebbe essere $ (e^-2s)/(s+1) $ ?
O almeno, questo è il risultato che trovo io e che mi pare ottenga anche il professore sviluppando il calcolo tramite l'integrale... mentre decomponendo la funzione al denominatore della trasformata a lui compare $ s*(s+1) $.
A questo punto inizio a pensare che l'errore sia nell'esercizio svolto che ho postato, non sarebbe la prima volta che il professore sbaglia qualche segno o qualche numero, e questa incertezza causa ancora più confusione in chi, come me, deve iniziare praticamente da zero.
O almeno, questo è il risultato che trovo io e che mi pare ottenga anche il professore sviluppando il calcolo tramite l'integrale... mentre decomponendo la funzione al denominatore della trasformata a lui compare $ s*(s+1) $.
A questo punto inizio a pensare che l'errore sia nell'esercizio svolto che ho postato, non sarebbe la prima volta che il professore sbaglia qualche segno o qualche numero, e questa incertezza causa ancora più confusione in chi, come me, deve iniziare praticamente da zero.
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