Calcolo della parte principale
Sia f(x)= 2log(coshx) -x^2 +3x^7. La parte principale per x-->0, rispetto all'infinitesimo campione u(x)=x, della f è:
a) -(x^4)/6
b)3^7
c)x^2
d)x^2 + 3x^7
e)-(x^4)/6 + o(x^4)
L'unica opzione che ho scartato a priori è la e) poiché contiene anche un o piccolo.
Eliminata questa possibile risposta procedo sviluppando la funzione con Mclaurin, poiché x tende a 0.
Quindi espando il coshx, la funzione "più interna" rispetto al logaritmo.
= 2log[1+(x^2)/2! +o(x^3)] -x^2 -3x^7
a questo punto espando il logaritmo, ponendo al posto di x, (x^2)/2;
2[ (x^2)/2 -(x^4)/4 +o(x^4)] -x^2 -3x^7
svolgendo i calcoli giungo a questo punto:
-(x^4)/4 +3x^7
ma vi dico sin da ora che da questo punto in poi non riesco a trovare nessun artificio per giungere alla soluzione esatta, ergo se qualcuno avesse voglia di dare un'occhiata e vedere cosa non va è il benvenuto
a) -(x^4)/6
b)3^7
c)x^2
d)x^2 + 3x^7
e)-(x^4)/6 + o(x^4)
L'unica opzione che ho scartato a priori è la e) poiché contiene anche un o piccolo.
Eliminata questa possibile risposta procedo sviluppando la funzione con Mclaurin, poiché x tende a 0.
Quindi espando il coshx, la funzione "più interna" rispetto al logaritmo.
= 2log[1+(x^2)/2! +o(x^3)] -x^2 -3x^7
a questo punto espando il logaritmo, ponendo al posto di x, (x^2)/2;
2[ (x^2)/2 -(x^4)/4 +o(x^4)] -x^2 -3x^7
svolgendo i calcoli giungo a questo punto:
-(x^4)/4 +3x^7
ma vi dico sin da ora che da questo punto in poi non riesco a trovare nessun artificio per giungere alla soluzione esatta, ergo se qualcuno avesse voglia di dare un'occhiata e vedere cosa non va è il benvenuto
Risposte
Mmmm... c'è qualcosa che non mi torna:
$2\log(\cosh x)=2\log[1+(x^2/2+x^4/{24}+o(x^4))]=$
$=2[(x^2/2+x^4/{24}+o(x^4))-1/2(x^2/2+x^4/{24}+o(x^4))^2+o((x^2/2+x^4/{24}+o(x^4))^2)]=$
$=2[x^2/2+x^4/{24}-x^4/8+o(x^4)]=x^2-x^4/6+o(x^4)$
e pertanto $f(x)=-x^4/6+o(x^4)$. La risposta corretta è la a).
$2\log(\cosh x)=2\log[1+(x^2/2+x^4/{24}+o(x^4))]=$
$=2[(x^2/2+x^4/{24}+o(x^4))-1/2(x^2/2+x^4/{24}+o(x^4))^2+o((x^2/2+x^4/{24}+o(x^4))^2)]=$
$=2[x^2/2+x^4/{24}-x^4/8+o(x^4)]=x^2-x^4/6+o(x^4)$
e pertanto $f(x)=-x^4/6+o(x^4)$. La risposta corretta è la a).
Risposta esatta, grazie mille, ora provo a capire dove ho sbagliato, nel caso ti tartasserò di domande in questo topic 
Dunque, nel primo passaggio espandi all'ordine successivo il coshx, e consideri la come x tutto lo sviluppo, perché la funzione più esterna è il logaritmo, il cui sviluppo notevole è log(1+x). Nel secondo passaggio sviluppi il logaritmo al terzo ordine. Nel terzo fai i calcoli e fai rientrare l'ultimo o piccolo del secondo passaggio nell'o(x^4). Qua ho un dubbio: dov'è è finito il +3x^7?
Scusa se ti torturo..
Scusa se ti torturo..
E' una potenza di ordine superiore a $4$: se l'è mangiata l'$o(x^4)$ (brutti cosi affamati che sono!)
Grazie ancora 
Nuovo esercizio e nuovo errore -_-
Sia f(x)= (1/1-2x^2) -sin[(2^1/2)x]^2 -1. La parte principale per x-->0, rispetto all'infinitesimo campione u(x)=x, della f è:
a)2x^2 + o(x^2)
b)(16/3)x^4+ o(x^4)
c)2x^2
d)-(4/3)x^4
e)(16/3)x^4
Ecco lo screen, mi rendo conto che la notazione che uso è una rottura di scatole: http://oi44.tinypic.com/vy9vg6.jpg
Stavolta l'unica funzione che non è un polinomio è il seno di radice quadrata di x quindi è l'unica da sviluppare.
Non so se posso farlo ma per questa funzione preferirei postare lo screen dello svolgimento per facilitare la lettura( devo imparare a scrivere come si dovrebbe fare su questo forum).
http://oi44.tinypic.com/1zohsvq.jpg
Non metto gli ultimi passaggi ma ho visto che la risposta viene sbagliata, per cui chiedo ancora aiuto a voi
Sia f(x)= (1/1-2x^2) -sin[(2^1/2)x]^2 -1. La parte principale per x-->0, rispetto all'infinitesimo campione u(x)=x, della f è:
a)2x^2 + o(x^2)
b)(16/3)x^4+ o(x^4)
c)2x^2
d)-(4/3)x^4
e)(16/3)x^4
Ecco lo screen, mi rendo conto che la notazione che uso è una rottura di scatole: http://oi44.tinypic.com/vy9vg6.jpg
Stavolta l'unica funzione che non è un polinomio è il seno di radice quadrata di x quindi è l'unica da sviluppare.
Non so se posso farlo ma per questa funzione preferirei postare lo screen dello svolgimento per facilitare la lettura( devo imparare a scrivere come si dovrebbe fare su questo forum).
http://oi44.tinypic.com/1zohsvq.jpg
Non metto gli ultimi passaggi ma ho visto che la risposta viene sbagliata, per cui chiedo ancora aiuto a voi
In effetti oggi ho riprovato ma purtroppo mi viene sempre (16x^4)/1 -2x^2 sta parte principale
Io ti rispondo se e solo se sistemi tutt quella roba e la scrivi con il codice. 
è vero, scusatemi è che ancora non ho capito come debbo fare
Ciampax forse ce l'ho fatta!
Sia f(x)= $(1)/(1-2x^2)$ $-sin^2(sqrt2*x)$ -$1$
a)$2x^2$ + $o(x^2)$
b)$(16/3)x^4$ +$o(x^4)$
c)$2x^2$
d)$-(4/3)x^4$
e)$(16/3)x^4$
Sia f(x)= $(1)/(1-2x^2)$ $-sin^2(sqrt2*x)$ -$1$
a)$2x^2$ + $o(x^2)$
b)$(16/3)x^4$ +$o(x^4)$
c)$2x^2$
d)$-(4/3)x^4$
e)$(16/3)x^4$
E poi? No dai, scherzo: siamo sicuri che sia questa la funzione? In ogni caso, devi usare gli sviluppi di $1/{1-t}=1+t+t^2+t^3+...$ (dove, nel tuo caso, $t=2x^2$) e della funzione seno. Qual è il problema? Arriva almeno al sesto ordine, con le potenze, e poi mi dici.
hem stavo facendo delle prove ed è possibile che tu abbia letto cose brutte
Io ho provato a scrivere il seno in questo modo.
$sin^2(sqrt2)x$ = $[(sqrt2x)$ $-(2(sqrt2)x^3)/6$ + $o(sqrt2*x)^4]^2$
$sin^2(sqrt2)x$ = $[(sqrt2x)$ $-(2(sqrt2)x^3)/6$ + $o(sqrt2*x)^4]^2$
Allora ho fatto come mi hai suggerito( il seno l'ho già fatto sopra quindi svolgo direttamente il quadrato)
=$ 1+2x^2 +2x^4 +o(x^4)$ $-(2x^2 -(4/3)x^4$ + $o(sqrt2*x)^4)$ -1
= $2x^4$ + $(4/3)x^4$ + $o(x^4)$
=$(10/3)x^4$ + $o(x^4)$
Questa parte principale che trovo non è nemmeno tra le risposte possibili
=$ 1+2x^2 +2x^4 +o(x^4)$ $-(2x^2 -(4/3)x^4$ + $o(sqrt2*x)^4)$ -1
= $2x^4$ + $(4/3)x^4$ + $o(x^4)$
=$(10/3)x^4$ + $o(x^4)$
Questa parte principale che trovo non è nemmeno tra le risposte possibili
Allora
$f(x)= (1)/(1-2x^2)-sin^2(sqrt2*x) -1=1+2x^2+4x^4+o(x^4)-(\sqrt{2} x-{\sqrt{2} x^3}/{3}+o(x^3))^2-1=$
$=2x^2+4x^4+o(x^4)-(2x^2-{4x^4}/3+o(x^4))={16x^4}/3+o(x^4)$
$f(x)= (1)/(1-2x^2)-sin^2(sqrt2*x) -1=1+2x^2+4x^4+o(x^4)-(\sqrt{2} x-{\sqrt{2} x^3}/{3}+o(x^3))^2-1=$
$=2x^2+4x^4+o(x^4)-(2x^2-{4x^4}/3+o(x^4))={16x^4}/3+o(x^4)$
Grazie ancora per il mazzo che ti fai qua sul forum
Una domanda:
lo sviluppo di $1/(1-2x^2)$ non dovrebbe essere $ 1+2x^2 +2x^4$ sapendo che $1/(1-x)$ è uguale a: $1+x+x^2+x^3...+x^n+o(x^n)$?
Una domanda:
lo sviluppo di $1/(1-2x^2)$ non dovrebbe essere $ 1+2x^2 +2x^4$ sapendo che $1/(1-x)$ è uguale a: $1+x+x^2+x^3...+x^n+o(x^n)$?
Altra domanda.. per il grado dell'o piccolo del seno io non ho che $o(2n+2)$?
1) se lo sviluppo di $1/{1-t}=1+t+t^2+...$ e $t=2x^2$, quanto fa $t^2$?
2) mi sa che devi riguardati un momento cosa sono gli o-piccoli, per capire perché ho messo $o(x^4)$.
2) mi sa che devi riguardati un momento cosa sono gli o-piccoli, per capire perché ho messo $o(x^4)$.
Sto facendo errori da deficiente -_-
Per quanto riguarda l'o piccolo in effetti svolgendo il quadrato $o(x^6)$ viene "mangiato" da $o(x^4)$ giusto?
Però io mi chiedevo questo.. lo sviluppo del seno è: $x-(x^3)/6+(x^5/120)+..+(-1)^(n)*(x^(2n+1))/(2n+1)! + o(x^(2n+2))$
quindi l'o piccolo quando sviluppo il seno non dovrebbe venirmi un grado più alto rispetto alla potenza più alta che ho nello sviluppo?
P.s il fattoriale va al denominatore ma non riesco ad inserirlo correttamente
Per quanto riguarda l'o piccolo in effetti svolgendo il quadrato $o(x^6)$ viene "mangiato" da $o(x^4)$ giusto?
Però io mi chiedevo questo.. lo sviluppo del seno è: $x-(x^3)/6+(x^5/120)+..+(-1)^(n)*(x^(2n+1))/(2n+1)! + o(x^(2n+2))$
quindi l'o piccolo quando sviluppo il seno non dovrebbe venirmi un grado più alto rispetto alla potenza più alta che ho nello sviluppo?
P.s il fattoriale va al denominatore ma non riesco ad inserirlo correttamente
Nrella "formula" che scrivi per il seno deve e sserci $o(x^{2n+1})$: quello che hai scritto tu viene mangiato da questo.
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