Calcolo del valor medio

[rico]

Ciao, sto provando a calcolare il valor medio di $f(x)=(cosx)/(e^(3sinx))$ nell intervallo $[0,pi/2]$.
io applico $(int^b_af(x)dx)/(b-a)$ e procedo con il calcolo dell integrale indefiniti $int(cosx)/(e^(3sinx))dx$ che a me viene cosi:$int(cosx)/(e^(3sinx))dx=-1/3int-3cosxe^(-3sinx)dx=1/3e^(-3sinx)+C$giusto fin qua?
e poi l int definito verrebbe $int^(pi/2)_0(cosx)/(e^(3sinx))dx=1/3(e^(-3)-1)$
e il valor medio $(1/3(e^(-3)-1))/(pi/2)$??

[_Tipper]

La primitiva direi che è semplicemente $e^{3}ln|sinx|$

[rico]

scusa ho corretto sopra

[_Tipper]

Ah, forse intendevi scrivere $e^{3sinx}$, in questo caso poni $sinx=t$, dato che $dt=cosxdx$ l'integrale da calcolare poi è semplice.

[rico]

e come ho fatto io come mai nn va bene? io ho usato $inte^(f(x))*f'(x)dx=e^(f(x))+C$

[_Tipper]

Non so se va bene o no, non ho controllato, ti ho solo detto una strada per farlo.

[_Tipper]

Ho fatto velocemente il conto, a me torna con un segno cambiato, ovvero: $-\frac{2}{3 \pi}(e^{-3}-1)$, ma è molto probabile che sia stato io a sbagliare.

[_Tipper]

Ripensandoci il tuo risultato non può essere giusto: il tuo risultato è negativo, perché $e^{-3}-1$ è negativo, ma la funzione che hai scritto in $[0, \pi/2]$ è positiva, quindi direi che hai lasciato un segno meno da qualche parte.

[rico]

scusa, ma nn ho capito se lo faccio per sostituzione nn viene cosi:
$int(cosx)/(e^(3sinx))dx$
$t=sinx$
$x=arsint$
$dx=1/(sqrt(1-x^2))dt$?? e poi cos metto al posto di cosx?

[_nicola de rosa]

"richard84":scusa, ma nn ho capito se lo faccio per sostituzione nn viene cosi:
$int(cosx)/(e^(3sinx))dx$
$t=sinx$
$x=arsint$
$dx=1/(sqrt(1-x^2))dt$?? e poi cos metto al posto di cosx?

a parte che è banale integrarlo, ma se vuoi fare la sostituzione allora $t=sinx->dt=cosxdx->int(cosx)/(e^(3sinx))dx=inte^(-3t)dt=-1/3*e^(-3t)+K=-1/3*e^(-3sinx)+K$ ed il valor medio è
$2/(3pi)(1-e^(-3))$