Calcolo del Flusso quando la divergenza è uguale a 0???

[Aint]

io ho questo esercizio
calcolare il flusso del campo


$F(x,y,z)=(z+y^2, x-z^2, 1)$

attraverso la calotta sferica definita da


$x^2+y^2+z^2=1, z>0$

come vedete divF=0

e non so come fare... il prof non spkiega i passaggi ma dice che essendo 0 si calcola in modo semplice rispetto a $D=x^2+y^2<=1$


D ho capito da dove slata fuori... ma non so l ostesso come fare a calcolare il flusso essendo div=0...


il riisultato è $pi$

qualcuno me lo può spiegare con i passaggi??? sul libro Bramanti Pagani Salsa e sul Marcellino Sbordone non ho trovato la spiegazione di cosa bisogna fare quando la divergenza è =0.. non c'è nessun caso come esempio!!!


Grazie!

[enr87]

il teorema della divergenza ti dice che

$int int_(Sigma) dS = int int int_V dV

dove $Sigma$ è la superficie chiusa che racchiude il volume $V$. ti faccio notare che puoi scomporre $Sigma$ in due superfici aperte, e puoi quindi sfruttare l'additività dell'integrale a sinistra.
d'altra parte puoi ragionare un attimo su quello che succede: se il flusso totale è nullo (hai detto che la divergenza si annulla), quello uscente deve essere uguale a quello entrante

[Aint]

eeh quello uscente uguale a quello entrante.. allora appunto il flusso è nullo.. invece il prof lo calcola in un modo che non ho capito e trova $pi$..

puoi spiegarmi e fare i passaggi così posso capire???

anche perché io provando a fare $int F*ndS$ dove

F è il mio campo..
n= è il vettore normale calcolato come $(-fx, -fy, 1)/sqrt(1+ |nablaf|^2)$ e quindi $(0, 0, 1)/sqrt(1+ |nablaf|^2)$

$dS= sqrt(1+|nablaf|^2)dxdy$

quindi $phi= int int F*ndS$

prodotto scalare... il denominatore di $n$ si semplifica col $dS$ e mi rimane

$int int 1 dxdy$ sul dominio D che è una circonferenza...

in pratica calcolo in coordinate polari e ottengo $pi$... però non capisco se è un caso o se è giusto...

perché il prof fa dei passaggi che non capisco.. ve li copio


$0= int int int divF(x,y,z)dxdydz$ integrale su E

$= int int F*ndS + int int 1dS$ il primo integrale su $Sigma$ e il secondo su $D$ e D è la circonferenza.

$=int int F*ndS - int int 1 dS$ come prima il primo è su $Sigma$ e il secondo su $D$ qua il mistero.. perché ci sbatte un $-$ davanti???

$= int int F*ndS -pi$ l'integrale sempre su $Sigma$

e poi credo porti di la dall'uguale il $pi$ e dice

da cui il flusso richiesto

$= int int F*ndS = pi$



fine esercizio...

commento personale.. che è una domanda che vi pongo... ma vi pare una correzione di un esercizio esaustiva questa???? io se fossi stato il prof come correzione dell'esame (eraun esercizio di un esame) avrei spiegato bene tutto e motivato ogni passaggio... anche perché dire semplicemente "possiamo calcolare il flusso in modo semplice" a mio avviso da studente non certo brillante non pare che sia molto chiario se poi non spieghi bene com'è questo "semplice"

attendo illuminazioni...

Grazie a tutti comunque

[enr87]

stai attento perchè non hai letto bene quello che ho scritto sopra, e lo ribadisco: il flusso totale (cioè attraverso la superficie chiusa) è nullo, ma lui ti chiede quello attraverso la calotta superiore della sfera. come superficie chiusa lui prende la calotta superiore della sfera e la chiude sotto con un cerchio. potevi chiuderla anche con un'altra calotta, solo che il calcolo del flusso col cerchio risulta particolarmente semplice. devi solo risolvere un'equazione:

$ int int_(Sigma + D) dS = int int int_V dV $

poichè il secondo membro è 0:

$ int int_Sigma dS + int int_D dS = 0

non capisco perchè $pi$ dovrebbe uscirti casualmente: stai calcolando l'area di una circonferenza di raggio 1, non serviva neanche fare quell'integrale.
il segno meno dipende dal prodotto scalare