Calcolo del flusso
Ho \(\psi(x,y,z)\rightarrow \mathbb{C}\) ed il campo vettoriale definito da
\(\mbox{F}=\frac{\hbar}{2i\mu}[(\overline{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial x}-\frac{\partial \overline{\psi}}{\partial x}\psi)\mbox{i}+(\overline{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial y}-\frac{\partial \overline{\psi}}{\partial y}\psi)\mbox{j}+(\overline{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial z}-\frac{\partial \overline{\psi}}{\partial z}\psi)\mbox{k}]\)
\(\mbox{F}=\frac{\hbar}{2i\mu}[\overline{\psi}\nabla \psi-\nabla \overline{\psi}\psi]\)
Devo calcolare il flusso radiale
\(\int \langle \mbox{F}, \mbox{i}_{\rho}\rangle d\Omega\)
Presumo sia il flusso del campo vettoriale nella direzione uscente dalla superficie sferica
\(\mbox{r}(\theta,\varphi)=R\cos \theta \sin \varphi \mbox{i}+\sin \theta \sin \varphi \mbox{j}+R \cos \varphi \mbox{k}\)
\((\theta,\varphi)\in [0,2\pi]\times(0,\pi)\)
Dovrei avere
\(\int \langle \mbox{F}, \mbox{i}_{\rho}\rangle d\Omega=\)
\(\int \langle \mbox{F}, \frac{\mbox{r}_{\theta}\wedge \mbox{r}_{\varphi}}{\sqrt{EG-F^{2}}}\rangle \sqrt{EG-F^{2}} \mbox{d}\theta\mbox{d}\varphi=\)
\(\int \langle \mbox{F}, \mbox{r}_{\theta}\wedge \mbox{r}_{\varphi} \rangle \mbox{d}\theta\mbox{d}\varphi=\)
Se fino a qui è corretto, per risolverlo dovrei riscrivere il campo vettoriale in coordinate polari attraverso le relazioni
\(\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\frac{\partial \rho}{\partial x}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial y}+\frac{\partial \psi}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial z}\)
E poi sostituire?
\(\mbox{F}=\frac{\hbar}{2i\mu}[(\overline{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial x}-\frac{\partial \overline{\psi}}{\partial x}\psi)\mbox{i}+(\overline{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial y}-\frac{\partial \overline{\psi}}{\partial y}\psi)\mbox{j}+(\overline{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial z}-\frac{\partial \overline{\psi}}{\partial z}\psi)\mbox{k}]\)
\(\mbox{F}=\frac{\hbar}{2i\mu}[\overline{\psi}\nabla \psi-\nabla \overline{\psi}\psi]\)
Devo calcolare il flusso radiale
\(\int \langle \mbox{F}, \mbox{i}_{\rho}\rangle d\Omega\)
Presumo sia il flusso del campo vettoriale nella direzione uscente dalla superficie sferica
\(\mbox{r}(\theta,\varphi)=R\cos \theta \sin \varphi \mbox{i}+\sin \theta \sin \varphi \mbox{j}+R \cos \varphi \mbox{k}\)
\((\theta,\varphi)\in [0,2\pi]\times(0,\pi)\)
Dovrei avere
\(\int \langle \mbox{F}, \mbox{i}_{\rho}\rangle d\Omega=\)
\(\int \langle \mbox{F}, \frac{\mbox{r}_{\theta}\wedge \mbox{r}_{\varphi}}{\sqrt{EG-F^{2}}}\rangle \sqrt{EG-F^{2}} \mbox{d}\theta\mbox{d}\varphi=\)
\(\int \langle \mbox{F}, \mbox{r}_{\theta}\wedge \mbox{r}_{\varphi} \rangle \mbox{d}\theta\mbox{d}\varphi=\)
Se fino a qui è corretto, per risolverlo dovrei riscrivere il campo vettoriale in coordinate polari attraverso le relazioni
\(\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\frac{\partial \rho}{\partial x}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial y}+\frac{\partial \psi}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial z}\)
E poi sostituire?
Risposte
Aspetta aspetta e non ti conviene fare così, troppo complicato. Meglio ricondursi a integrali di volume col teorema della divergenza (o con le formule di Green, le formule di integrazione per parti, o come preferisci chiamare questi strumenti di calcolo). Tu sostanzialmente devi calcolare
\[\int \bar{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial r}-\psi \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial r}\, dS\]
esteso ad una sfera con centro nell'origine. Ma se applichi le formule anzidette vedi subito che questo è uguale a
\[\int_{\mathbb{R}^3}\left(\bar{\psi}\Delta \psi - \psi \Delta \bar{\psi}\right)\, dV.\]
Così mi sembra più bellino, poi naturalmente dipende da cosa tu voglia farci.
\[\int \bar{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial r}-\psi \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial r}\, dS\]
esteso ad una sfera con centro nell'origine. Ma se applichi le formule anzidette vedi subito che questo è uguale a
\[\int_{\mathbb{R}^3}\left(\bar{\psi}\Delta \psi - \psi \Delta \bar{\psi}\right)\, dV.\]
Così mi sembra più bellino, poi naturalmente dipende da cosa tu voglia farci.
Ah ok. Mi sa che allora l'osservazione precedente non ti serve.
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