Calcolo dei limiti: somma di due limiti

[gundamrx91-votailprof]

Sicuramente per molti sarà banale, ma sto cercando di dimostrare che:

sia $lim_(x->x_0) f(x)=l_1$ e $lim_(x->x_0) g(x) = l_2$ con $f: X -> RR$ e $g: X -> RR , X sube RR, x_0 in RR^*$

allora $f(x)+g(x) = l_1 + l_2$

Dal primo limite si ha che $AAV_1(l_1,epsilon), epsilon>0, EEU_1(x_0,delta_epsilon),delta_epsilon>0 | f(x) in V_1 ^^ x_0!=x in X nn RR$
e dal secondo si ha che $AAV_2(l_2,epsilon), epsilon>0, EEU_2(x_0,delta_epsilon),delta_epsilon>0 | g(x) in V_2 ^^ x_0!=x in X nn RR$

e $|f(x) - l_1| < epsilon$ e $|g(x) - l_2| < epsilon$

allora $f(x) + g(x) => |f(x) - l_1| + |g(x) - l_2| < epsilon + epsilon$
$|(f(x) + g(x)) - (l_1+l_2)| < 2epsilon$

e infine $(l_1+l_2) -2epsilon <(f(x)+g(x))<(l_1+l_2) + 2epsilon$

come da definizione di limite.

Che dite può andare?

[gugo82]

Se alla fine non dici dove devi prendere \(x\) per verificare quelle relazioni d'ordine la dimostrazione è inutile.

Inoltre, non capisco la definizione di limite che usi...

[gundamrx91-votailprof]

"gugo82":Se alla fine non dici dove devi prendere \(x\) per verificare quelle relazioni d'ordine la dimostrazione è inutile.

Dici qui: $| f(x) - l_1| < epsilon$ e $| g(x) - l_2| < epsilon$ ??

"gugo82":
Inoltre, non capisco la definizione di limite che usi...

Come definizione ho che per ogni intorno $V$ del limite della funzione, con $epsilon>0$, esiste un intorno $U$ del punto di accumulazione $x_0$ tale che la funzione appartiene all'intorno $V$, con $x != x_0$. E' sbagliata?