Calcolo area superficie paraboloide
Ariciao a tutti. Questo mi sembrava abbastanza semplice, invece si è rivelato complicato, sbaglio qualcosa, aiuto.
Calcolare l'area della superficie di paraboloide data da $D={(x,y,z)in R^3 t.c. z=x^2+3y^2, z<=1}$
A questo punto intendo usare la formula
$int_S d sigma = int int ||phi_u xx phi_v||du dv$
dove
$phi={ ( x=rhocos(theta) ),( y=rhosin(theta)/sqrt(3) ),( z=rho^2 ):}$ con $rho in [0,1]$ e $theta in [0,2pi]$
Facedo le derivate e calcolando il prodotto vettoriale e la norma, mi viene che devo calcolare:
$int_0^(2pi)int_0^1(sqrt(4rho^4/3cos^2theta + 4rho^4sin^2theta +rho^2/3)drho d theta)$
Il problema è che non riesco a calcolare l'integrale. aiuto per piacere
Calcolare l'area della superficie di paraboloide data da $D={(x,y,z)in R^3 t.c. z=x^2+3y^2, z<=1}$
A questo punto intendo usare la formula
$int_S d sigma = int int ||phi_u xx phi_v||du dv$
dove
$phi={ ( x=rhocos(theta) ),( y=rhosin(theta)/sqrt(3) ),( z=rho^2 ):}$ con $rho in [0,1]$ e $theta in [0,2pi]$
Facedo le derivate e calcolando il prodotto vettoriale e la norma, mi viene che devo calcolare:
$int_0^(2pi)int_0^1(sqrt(4rho^4/3cos^2theta + 4rho^4sin^2theta +rho^2/3)drho d theta)$
Il problema è che non riesco a calcolare l'integrale. aiuto per piacere
Risposte
Io proverei ad integrare prima rispetto a $\rho$ e poi rispetto a $\theta$, considerato che tutta quella roba la puoi riscrivere come
$\rho/{\sqrt{3}}\sqrt{4\rho^2(1+\sin^2\theta)+1}$
e che quindi puoi ricondurla (quando effettui il primo integrale) ad una cosa del tipo $a\rho\sqrt{b^2\rho^2+1}$ con $a,b$ indipendenti da $\rho$.
$\rho/{\sqrt{3}}\sqrt{4\rho^2(1+\sin^2\theta)+1}$
e che quindi puoi ricondurla (quando effettui il primo integrale) ad una cosa del tipo $a\rho\sqrt{b^2\rho^2+1}$ con $a,b$ indipendenti da $\rho$.
Si, infatti ho provato questa strada, solo che comunque giungo a un integrale che non so risolvere ( a meno di utilizzare il teorema dei residui ma non so se in 2 ore di compito ci riesco a farlo senza commettere errori). Comunque domattina riprendo l'esercizio e posto l'integrale risolto fino a dove so arrivare, magari in quel modo posso ricevere consigli più precisi.
Grazie
Grazie
Mmmm... effettivamente viene una brutta bestia. Sto pensando se non sia più utile un'altra parametrizzazione.
si ho provato a mettere al posto di $z=rho^2$, $z=rho$, ma viene uguale, se non peggio..
Speriamo che martedì nn mi capiti una schifezza di questo tipo... Certe volte ho l'impressione che il compito di analisi sia come un quiz a premi.. per rispondere bene devi trovare la chiave di volta della domanda e ragionare su quella... se sbarelli per fatti tuoi ti complichi la vita
Speriamo che martedì nn mi capiti una schifezza di questo tipo... Certe volte ho l'impressione che il compito di analisi sia come un quiz a premi.. per rispondere bene devi trovare la chiave di volta della domanda e ragionare su quella... se sbarelli per fatti tuoi ti complichi la vita
Non credo che il problema sia "tuo". Ad esempio per un "banale" ellissoide non si trova una formula esatta per la sua superficie, ma hai delle approssimazioni (http://it.wikipedia.org/wiki/Ellissoide ... perficiale).
Per il caso del paraboloide non so esattamente, ma temo che non ci si arrivi in fondo .
In ogni caso, provare è sempre un utile esercizio.
Per il caso del paraboloide non so esattamente, ma temo che non ci si arrivi in fondo .
In ogni caso, provare è sempre un utile esercizio.
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