Calcolo angolo

[brownbetty1]

Salve a tutti,

ho la seguente equazione $ arctan (omega)-2omega =-90° $

sapreste dirmi come risolverla in modo esatto, carta e penna (ad occhio dovrebbe essere $omega=70°$).

Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao brownbetty,

"brownbetty":sapreste dirmi come risolverla in modo esatto

In modo esatto la vedo dura, però la puoi risolvere per esempio graficamente, dato che equivale al sistema seguente:

$\{(y = arctan\omega),(y = 2\omega - \pi/2):}$

che sono entrambe funzioni il cui grafico è ben noto.
Con l'aiuto di WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan%5Comega+%3D+2%5Comega+-+%5Cpi%2F2

[brownbetty1]

Ti ringrazio!!

[feddy]

Risolverla analiticamente non è possibile.

Quello che si può fare è usare un metodo numerico per il calcolo di $w$.

Dunque abbiamo questa funzione $f(w)=arctan(w) - 2*w + pi/2=0$. Lo zero $w$ di questa funzione è la nostra incognita.
Cerchiamo di capire qualcosa di questa $f$.
E' una somma di funzioni continue e pertanto è pure lei una funzione continua.
La sua derivata è $f(w)=1/(w^2+1) - 2$ e si vede facilmente che è una biiezione di $RR \rarr RR$ e che esiste un unico zero (thm. degli zeri $\oplus$ monotonia), che possiamo individuare nell'intervallo (per esempio) $(1,2)$.

Per il calcolo numerico possiamo usare tranquillamente il metodo di bisezione, che ho implementato ( e testato su Octave), se vuoi provarlo.

a=1;
b=2;

f=@(x) atan(x) - 2*x + pi/2;

fa=feval(f,a);
fb=feval(f,b);

iter=0;
tol=1e-7;
maxit=100; %numero max di iterazioni

while (abs(b-a)>tol) && (iter<maxit)
   iter=iter+1;
    %calcolo punto medio
    xm=(a+b)/2;
    fm=feval(f,xm);
    
    if sign(fa)*sign(fm)<=0
        b=xm;sol
        fb=fm;
    else 
        a=xm;
        fa=fm;
    end
end

xm %zero della funzione

Risulta $ w~~ 1.22935 $

[brownbetty1]

Molto bello!!!

[feddy]

l'importante è che sia giusto DI niente